What's so special about Euler's number e? | Chapter 5, Essence of calculus - ko

자신의 재에서 다시 날아 오르는 봉황처럼, y = e^x라는 함수가 자기 자신의 도함수라는 것을 알면 누가 놀라지 않았을까? -Francois le Lionnais 지금까지 몇가지 미분 공식들을 소개해왔지만

아직 제가 남겨놓은 매우 중요한 지수함수가 남았습니다. 그래서 여기서 2의 x제곱, 7의 x제곱과 같은

지수함수와 왜 e의 x제곱의 도함수가 가장 중요한 지수함수들 중 하나인지 이야기 하려합니다.

먼저 직관적 감각을 얻기 위해 2의 x제곱을 봅시다. 입력 변수를 시간 t라고 생각해보고 (하루 이틀 같은)

출력변수는 인구 규모를 나타내는 2^t로 나타내 매일 2배가 되는 pi 무리의 개체수라고 생각합시다.

사실 불연속적인 도약을 하는 각각의 새로운 pi 생물들 대신에

차라리 2의 t 제곱을 총 질량이라고 생각합시다. 이 방법이 함수의 연속성을 더 잘 반영 할 겁니다. 안그래요?

예를 들어 t=0일 때 총 질량은 2^0으로 한 개체의 질량인 1입니다 t=1, 첫째 날 일때, 개체수는 2로 증가하고, 총 질량은 2^1로 2가 되었습니다.

t=2, 둘째 날 일때, t^2 또는 4가 되고 , 전반적으로 매일 2배가 될 것 입니다. 미분하기 위해, dM/dt가 필요합니다. dM/dt는 질량이 증가하는 비율로

질량의 작은 변화량를 시간의 작은 변화량으로 나눈 값이라고 생각할 수 있습니다. 그리고 이제 3일과 4일 사이를 예로,

변화율을 생각해 봅시다. 이 경우에는 8에서 16으로 증가했고

하루동안 8마리 질량의 새 생물들이 추가 되었습니다. 개체 수 증가 비율은 시작하는 날의 개체수와 같다는 점을 주목해볼 수 있습니다.

4일과 5일 사이에는, 16에서 32로 증가 합니다. 따라서 이는 하루에 16 개의 새로운 질량이 생기는 비율입니다.

그리고 또 다시 16은 시작하는 날의 pi 개체수와 같습니다. 일반화하면, 하루동안 증가하는 비율과

시작하는 날의 개체수는 같습니다. 마치 2의 t제곱의 미분계수가

2의 t제곱의 값과 같을 것이라는 느낌을 줍니다. 이 함수의 주어진 시간 t에서의 변화율은

아마도 t에서의 함수값과 동일 할 것 같습니다. 그리고 이는 분명히 올바른 방향의 직관이지만

꽤 정확하지는 않습니다. 우리가 여기서 한 것은 하루 동안의 변화를 비교한 것이고

2의 t+1제곱과 2의 t 제곱의 차이를 생각한 것입니다.

하지만 미분에서는, 매우 작은 변화를 다루어야 합니다. 하루의 1/10, 하루의 1/100, 하루의 1/10억 동안의 증가는 어떻게 될까요?

하루의 매우 작은 시간동안의 무게 변화를 다루는 것은 설명할 수 있기 때문에 제가 함수값을 개체 무게의 합으로 생각한 이유입니다.

하지만 매 초마다 불연속적으로 증가하는 개체수로 미소 변화를 다루는 것은 앞뒤가 맞지 않습니다. 더 추상적으로, 매우 작은 시간변화인 dt를 다루어

모두 dt 로 나눈 2^(t+dt)와 2^t의 차이를

알아보려 합니다. 기존의 단위시간에서 보았던 변화를, 이제 매우 작게 하여 한 순간으로 보려 합니다.

하루 동안의 변화 대신에 말이죠. 이겁니다.

여기 매우 명료한 기하학적 그림이 있으면 좋겠습니다. 우리가 찾고자 하는 것을 튀어나오게 하여

하나의 값을 가리킬 수있고 "봐봐! '저 부분'. 그것이 2^t의 미분형이야." 라고 말할 수 있는 그런 다이어그램 말입니다.

그리고 만약 그 중 하나를 알고 있다면 알려주세요. 이 영상의 목표는 나머지 영상들과 마찬가지로

즐겁게 발견할 수있는 정신을 유지하는 것이지만, 뒤에 오는 놀이의 유형은 시각적인 패턴을 찾기보다는

오히려 숫자 패턴을 찾는 것과 더 관련이 있습니다. 따라서 이 항을 아주 자세히 살펴보는 걸로 시작합시다.

2^(t+dt) 지수의 핵심 법칙은 이를 2의 t제곱과 2의 dt제곱의 곱으로 나눌 수 있다는 것입니다.

이는 정말로 지수의 가장 중요한 속성입니다. 지수에 두 개의 값을 추가하면, 출력물을 두 종류의 곱으로 분해할 수 있습니다.

이것은 당신이 시간의 작은 변화와 같은 덧셈적 개념을 속도와 비율 같은 것들인 곱셈적 개념으로

관련시킬 수 있다는 것입니다. 제 말은, 여기서 일어나는 일들을 보세요.

이러한 수단을 쓴 후에, 우리는 2^t 항을 뽑아낼 수 있습니다. 이는 이제 2^dt에서 1을 뺀 값을 모두 dt로 나눈 것이 됩니다.

그리고 떠올려보세요, 2의 t제곱의 미분계수는 dt가 0에 가까워짐에 따라 이 모든 수식이 어떤 값에 수렴하는 것입니다.

언뜻 보면 그리 중요하지 않은 조작처럼 보일 수 있습니다. 하지만 대단히 중요한 사실은 모든 dt 요소들이 사는

오른쪽 항은 t항 자체와는 완전히 별개라는 점입니다. 이는 우리가 시작한 실제 시간에 좌우되지 않다는 것을 의미합니다.

계산기를 사용해 dt에 아주 작은 값을 입력해보세요. 예를 들어, 2의 0.001제곱 빼기 1을

0.001로 나눈 값을 입력해봅시다. dt에 더 작은 값을 선택할수록 이 값은

매우 특정한 숫자에 접근함을 찾을 수 있을 것입니다. 약 0.6931로 말이죠.

번호가 이해하기 힘들다면 걱정하지 마세요. 핵심은 이것이 어떤 일정한 상수라는 것입니다.

다른 함수의 미분형과 달리 dt에 의존하는 모든 것들은 t 자체의 값과는 별개입니다.

그래서 2^t의 도함수는 그 자체가 어떤 상수로 곱해져 있음을 알 수 있습니다.

그리고 그것은 일종의 의미가 있어야 하는데, 왜냐하면 이전에, 2에 대한 도함수가 적어도 우리가 하루 종일의 변화를 관찰할 때 ,

그 자체가 되어야 한다고 느꼈기 때문입니다. 그리고 분명히, 훨씬 더 작은 시간 규모에 대한 변화율은

자기 자신과 전적으로 동등하지 않지만 그 자체에 비례합니다,

이 매우 특이한 비례 상수 0.6931를 통해 말이죠. 그리고 여기서 숫자 2에 대해 딱히 특별한 것은 없습니다.

만약 우리가 대신에 함수 3을 다루었다 하더라도 지수법칙은 우리에게 3^t의 도함수는 자기 자신에 비례한다는

결론을 이끌어 냈을 것입니다. 그러나 이번에는 비례 상수가 1.0986으로 일정했을 것입니다.

그리고 다른 기본형의 지수 함수의 경우, 어떤 다양한 비례 상수가 있는지 찾는 재미를 느낄 수 있을 것입니다. 어쩌면 그 값의 패턴을 찾을 수 있을지도 모르죠.

예를 들어, 8의 지수에 아주 작은 숫자를 넣어 1을 뺀 다음 그 작은 숫자로 나누면,

비례 상수가 약 2.079임을 찾을 수 있을 것이고, 어쩌면, 아마도 어쩌면 이 번호가

2를 밑으로 하는 비례상수의 정확히 3 배가되는 경우라는 점을 눈치챌 것입니다. 그래서 이 숫자들은 분명 무작위가 아니며 어떤 종류의 패턴이 있습니다.

하지만 무엇일까요? 2가 0.6931과 무슨 관계가 있는 것일까요?

그리고 8은 2.079와 어떤 관련이 있는 것일까요? 음, 궁극적으로 이 미스터리 상수를 설명할 두 번째 질문은

비례 상수로 1을 가지는 밑이 있는지에 대한 여부이고 다시말해 a의 t제곱의 도함수는 자기 자신과 비례할 뿐만 아니라

실제로 자기 자신과 동일한 것입니다. 그리고 여기 있습니다!

특별한 상수 "e"입니다. 약 2.71828이죠.

사실 숫자 e가 여기에 우연히 나타나는 것은 아닙니다. 이는 어떤 의미에서 숫자 e를 정의하는 것입니다.

만약 당신이 "왜 모든 수 중에서 e가 이 속성을 가지고 있습니까?"라고 묻는다면 이는 "왜 모든 수 중에서 π가 원의 둘레와 그 직경의 비율일까요?"라고 물어보는 것과 비슷합니다.

이것이 바로 이 값을 정의하는 것이기 때문입니다. 모든 지수 함수는 자기 자신의 도함수에 비례한다.

그러나 비례 상수가 1이 되도록 하는 특수한 숫자가 e이고, e의 t제곱은 실제로 자신의 도함수와 동일함을 의미합니다.

생각해볼 수 있는 한 가지 방법은 e^t 그래프를 보면, 이 그래프 상의 임의의 점에 대한 접선의 기울기는

수평 축 위에 그 점의 높이가 동일한 값을 가집니다. 이와 같은 함수의 존재는 수수께끼 상수의 질문에 답을 주고

이는 자기 자신의 도함수에 비례하는 함수에 대해 다른 방식으로 생각해 볼 수 있기 때문입니다.

실마리는 바로 연쇄법칙을 사용하는 것입니다. 예를 들어, e의 3t제곱의 도함수는 무엇입니까?

음, 가장 바깥 쪽의 함수의 도함수를 취하면 e의 특별한 본질에 의해 그 자체가 되고,

내부 함수인 3t의 도함수를 곱합니다. 이는 곧 상수 3이 되죠.

또는 맹목적으로 법칙을 적용하는 것보다는, 연쇄법칙에 대한 직관을 연습하는 데 시간을 쓸 수 있습니다. 제가 가장 최근의 비디오를 통해 이야기 한 t의 미소 변화량이 3t 미소 변화량을 어떻게 바꾸는지,

그리고 그 중간의 변화가 어떻게 e의 3t제곱을 바꾸는지 생각해보는 것입니다. 어느 쪽이든, 요점은, t에 일정한 상수인 c를 곱한 e^ct는

도함수가 자기 자신의 상수배입니다. 그리고 여기서부터, 그 수수께끼의 상수들에 대한 질문은 실제로 어떤 대수적 조작에서 도출됩니다.

숫자 2는 e의 자연로그2 제곱으로 기록 될 수 있습니다. 여기서는 아무것도 환상적이지 않습니다. 이는 자연 로그의 정의에 불과합니다.

그것은 "e의 몇 제곱이 2와 같은가?"라는 질문을 던집니다. 따라서 함수 2의 t제곱은

함수 e의 ln(2)t제곱과 같습니다. 우리가 방금 본 것에서, e의 t제곱은 자기 자신의 도함수이고

연쇄법칙에 따라 이 함수의 도함수는 자기 자신과 비례하며, 비례 상수로는 자연로그 2와 같습니다.

그리고 실제로 계산기를 통해 자연로그2를 구해보면 당신은 그것이 0.6931임을 알게 될 것입니다.

우리가 이전에 만났던 수수께끼 상수입니다. 그리고 다른 모든 밑에 대해서도 마찬가지입니다.

미분을 할 때 나타나는 수수께끼의 비례 상수는 'e의 몇제곱이 밑과 같아지는가?'라는 질문의 대답인

밑의 자연로그일 뿐입니다. 실제로, 미적분학의 응용 프로그램을 써보면, 특정 밑을 가지고 표현된 지수를 거의 찾아볼 수 없을 것입니다.

대신 거의 항상 e의 ct제곱으로 써야될 것입니다. 사실 모두 똑같습니다. 2의 t제곱이나

또는3의 t제곱은 e의 t에 특정 상수 c를 곱한 값의 제곱으로 표현될 수 있습니다. 이 상징에 과도하게 집중하기 보다는

저는 특정 지수 함수를 적는 방법이 많이 있다는 점을 강조하고 싶습니다. 그리고 e의 ct제곱으로 써진 것을 볼 때

이는 우리가 그런 방식으로 쓸 것을 선택한 것이고, 숫자 e는 함수 자체에 근본이 아닙니다. 이런 식으로 지수를 쓰는 것이 특별한 이유는

e는 지수에서 그 상수에 대해 좋고 읽기 쉬운 의미를 부여한다는 것입니다. 여기, 제가 의미하는 것을 보여 드리겠습니다.

모든 종류의 자연 현상은 변화하는 것에 비례하는 변화율을 수반합니다. 예를 들어, 인구 증가율은 인구 규모에 대해

비례하는 경향이 있습니다. 증가 속력을 부추기는 제한된 자원이 없다고 가정 할 때 말이죠.

그리고 시원한 방에 뜨거운 물 한 컵을 넣으면 물이 냉각되는 속도는 방과 물 사이의

온도의 차이에 비례합니다. 또는, 조금 다르게 말하자면

그 차이의 변화율은 그 자체에 비례합니다. 만약 당신이 돈을 투자한다면, 이에 대한 성장률은

언제나 그곳에 존재하는 돈의 양에 비례합니다. 이러한 모든 경우에서, 어떤 변수의 변화율이

자기 자신에 비례한다면 시간에 따라 그 변수를 기술하는 함수는 어떤 종류의 지수함수처럼 보일 것입니다.

지수 함수를 쓰는 데는 많은 방법이 있지만, 이러한 함수를 다음과 같이 표현하는 것은 매우 자연스러운 일입니다.

왜냐하면 e의 ct제곱으로 표현하는 것은 그 상수는 매우 자연스러운 의미를 지니기 때문입니다.

이 상수는 변화하는 변수의 크기와 변화율 사이의 비례 상수와 같습니다.

그리고 언제나처럼, 이 시리즈를 가능하게 한 사람들에게 감사드립니다.