مستخرج ترجمات YouTube من Twincloud
13:50
[ترجمة Yaso Xtreme and Grant Sanderson. أرسل التصحيحات على criblate.com] كنت قدمت شوية قوانين للمشتقات، بس فيه واحدة مهمة جدا سيبتها وهي الدوال الأسية.
فهنا عايز أتكلم عن مشتقات دوال زي 2 أس t و7 أس t، وأوضح كمان ليه e أس t تعتبر أهم الدوال الأسية.
أول حاجة، عشان نفهم الفكرة، خلينا نركز على الدالة 2 أس t. خلينا نتخيل إن المدخل ده وقت، t، مثلا بالأيام، والناتج، 2 أس t، هو
عدد السكان، يمكن لفرقة من كائنات الباي خصبة جدا بتضاعف عددها كل يوم. في الحقيقة، بدل عدد السكان اللي بيكبر بقفزات صغيرة مع كل كائن باي
صغير يتولد، خلينا نعتبر 2 أس t هي الكتلة الإجمالية للسكان دول. أنا شايف إن ده بيعكس استمرارية الدالة دي بشكل أحسن، إيه رأيك؟
فمثلا، عند الوقت t بيساوي 0، الكتلة الإجمالية هي 2 أس 0 بتساوي 1، دي كتلة كائن واحد. عند t بيساوي يوم واحد، السكان كبروا وبقوا 2 أس 1 بيساوي كتلتين لكائنات.
عند اليوم t بيساوي 2، هتبقى 2 تربيع، أو 4، وعموما هي بتفضل تتضاعف كل يوم. عشان نحسب المشتقة، إحنا محتاجين dM/dt ، المعدل اللي الكتلة السكانية دي
بتكبر بيه، وده بنعتبره تغيير صغير في الكتلة مقسوم على تغيير صغير في الوقت. خلينا نبدأ بالتفكير في معدل التغير على مدار يوم كامل، مثلا بين اليوم التالت واليوم الرابع.
في الحالة دي، هي بتكبر من 8 لـ 16، فدي 8 كتل كائنات جديدة زادت على مدار يوم واحد. ولاحظ: إن معدل النمو ده بيساوي عدد السكان في بداية اليوم.
وبين اليوم الرابع واليوم الخامس، بتكبر من 16 لـ 32، فده معدل 16 كتلة كائنات جديدة في اليوم، واللي برضه بيساوي عدد السكان في بداية اليوم.
وعموما، معدل النمو ده على مدار يوم كامل بيساوي عدد السكان في بداية اليوم ده. فممكن يكون مغري إننا نقول إن ده معناه إن مشتقة 2 أس t بتساوي نفسها،
وإن معدل تغير الدالة دي في وقت معين t بيساوي قيمة الدالة نفسها. وده الصراحة في الاتجاه الصح، بس هو مش صح أوي.
اللي بنعمله هنا هو إننا بنقارن على مدار يوم كامل، بنشوف الفرق بين 2 أس (t + 1) و2 أس t. بس عشان نخسب المشتقة، لازم نسأل إيه اللي بيحصل لتغييرات أصغر وأصغر.
إيه هو النمو على مدار عشر يوم، أو واحد على مية من اليوم، أو واحد على مليار من اليوم؟ وده هو السبب اللي خلاني أعتبر الدالة بتمثل كتلة سكانية، لإن منطقي نسأل عن تغيير صغير في
الكتلة على جزء صغير من اليوم، بس مش منطقي أوي نسأل عن تغيير صغير في عدد سكان منفصل في ثانية.
بشكل مجرد أكتر، لتغيير صغير في الوقت، dt، عايزين نفهم الفرق بين 2 أس (t + dt) و2 أس t، وكل ده مقسوم على dt.
يعني تغيير الدالة في وحدة الزمن، بس إحنا دلوقتي بنبص بشكل دقيق جدا حوالين نقطة زمنية معينة، مش على مدار يوم كامل.
وهنا الفكرة، كان نفسي يكون فيه صورة هندسية واضحة جدا تخلي كل اللي هيجي ده واضح وضوح الشمس، او مخطط تقدر تشاور فيه على قيمة وتقول، شوف، الجزء ده هو مشتقة 2 أس t.
ولو تعرف واحدة، يا ريت تقولي. ومع إن الهدف هنا، زي باقي السلسلة، هو إننا نحافظ على روح مرحة في الاكتشاف،
بس اللعب اللي جاي هيكون له علاقة أكتر بإيجاد أنماط رقمية مش بصرية. فخلينا نبدأ بإننا نبص عن قرب على الحد ده، 2 أس (t + dt).
من الخصائص الأساسية للدوال الأسية إنك تقدر تفك ده لـ 2 أس t في 2 أس dt. ودي بجد أهم خاصية للأسس.
لو جمعت قيمتين في الأس، تقدر تفك الناتج لحاصل ضرب من نوع ما. وده اللي بيخليك تربط الأفكار الجمعية، زي الخطوات
الصغيرة في الوقت، بالأفكار الضربية، زي المعدلات والنسب. قصدي، بص بس على اللي بيحصل هنا.
بعد الخطوة دي، نقدر ناخد 2 أس t كعامل مشترك، واللي دلوقتي مضروبة في 2 أس dt ناقص 1، وكل ده مقسوم على dt.
وافتكر إن مشتقة 2 أس t هي القيمة اللي التعبير ده بيقربلها لما dt تقرب من 0. وفي البداية، ده ممكن يبان كأنه تلاعب مش مهم.
بس حقيقة مهمة جدا هي إن الحد اللي على اليمين ده، اللي فيه كل الـ dt، منفصل تماما عن الحد t نفسه.
مبيعتمدش على الوقت الفعلي اللي بدأنا منه. تقدر تروح لآلة حاسبة وتحط قيم صغيرة جدا لـ dt هنا،
مثلا ممكن تكتب 2 أس 0.001 ناقص 1 مقسومة على 0.001. اللي هتلاقيه هو إنك كل ما تختار قيم أصغر وأصغر لـ
dt، القيمة دي هتقرب لرقم محدد جدا، حوالي 0.6931. متقلقش لو الرقم ده باين غامض، النقطة الأساسية هي إن ده نوع من الثوابت.
على عكس مشتقات دوال تانية، كل حاجة بتعتمد على dt هنا منفصلة عن قيمة t نفسها. فمشتقة 2 أس t هي نفسها، بس مضروبة في ثابت معين.
وده المفروض يكون منطقي، لإنه في الأول حسينا إن مشتقة 2 أس t المفروض تكون نفسها، على الأقل لما كنا بنبص على التغيرات على مدار يوم كامل.
ومن الواضح إن معدل تغير الدالة دي على فترات زمنية أصغر بكتير مش بيساوي نفسها بالظبط، بس بيتناسب معاها، مع ثابت التناسب الغريب جدا ده اللي هو 0.6931.
ومفيش حاجة مميزة أوي بخصوص الرقم 2 هنا. لو كنا اتعاملنا مع الدالة 3 أس t بدل 2، فالخاصية الأسية برضه كانت هتوصلنا لاستنتاج
إن مشتقة 3 أس t بتتناسب مع نفسها، بس المرة دي ثابت التناسب كان هيكون 1.0986. وبالنسبة لقيم، ممكن تتسلى وإنت بتحاول تشوف ثوابت
التناسب المختلفة هتكون إيه، يمكن تقدر تلاقي نمط فيهم. مثلا، لو حطيت 8 مرفوعة لأس رقم صغير جدا، ناقص 1، وقسمت على نفس
الرقم الصغير ده، هتلاقي إن ثابت التناسب المناسب هو حوالي 2.079. ويمكن، بس يمكن، تلاحظ إن الرقم ده بيصادف إنه بيساوي
بالظبط 3 أضعاف الثابت المرتبط بالأساس 2. فالأرقام دي أكيد مش عشوائية، فيه نمط معين، بس إيه هو؟
إيه علاقة 2 بالرقم 0.6931، وإيه علاقة 8 بالرقم 2.079؟ في الحقيقة، فيه سؤال تاني هيشرح الثوابت الغامضة دي من الآخر، وهو هل فيه أساس يكون فيه
ثابت التناسب ده بـ 1، وتكون فيه مشتقة a أس t مش بس بتتناسب مع نفسها، دي فعلا بتساوي نفسها؟
وأيوة فيه! هو الثابت المميز e اللي بيساوي حوالي 2.71828.
في الواقع، الرقم e مش بيظهر هنا بالصدفة، ده، بمعنى من المعاني، هو اللي بيعرف الرقم e. لو سألت ليه e بالذات من بين كل الأرقام عندها الخاصية دي، فده زي
ما تسأل ليه باي من بين كل الأرقام هي نسبة محيط الدائرة لقطرها. ده هو في الأساس اللي بيعرف القيمة دي.
كل الدوال الأسية بتتناسب مع مشتقتها، بس e لوحده هو الرقم المميز اللي بيخلي ثابت التناسب بـ 1، وده معناه إن e أس t فعلا بتساوي مشتقتها.
طريقة تفكر بيها في ده هي إنك لو بصيت على الرسم البياني لـ e أس t، هتلاقي عنده خاصية غريبة إن ميل المماس لأي نقطة على الرسم البياني ده بيساوي ارتفاع النقطة دي عن المحور الأفقي.
وجود دالة زي دي بيجاوب على سؤال الثوابت الغامضة، وده لأنه بيدينا طريقة تانية نفكر بيها في الدوال اللي بتتناسب مع مشتقتها.
المفتاح هو استخدام قاعدة السلسلة. مثلا، إيه هي مشتقة e أس 3t؟
ببساطة، إنت بتجيب مشتقة الدالة اللي بره، واللي بسبب طبيعة e المميزة هي نفسها بالظبط، وبتضربها في مشتقة الدالة اللي جوه 3t، واللي هي الثابت 3.
أو بدل ما تطبق قانون بشكل أعمى، ممكن تستغل اللحظة دي وتتمرن على التفكير البديهي لقاعدة السلسلة اللي اتكلمت عنها في الفيديو اللي فات، وتفكر إزاي تكة صغيرة لـ
t بتغير قيمة 3t، وإزاي التغيير الوسيط ده بيزق القيمة النهائية لـ e أس 3t. في الحالتين، الفكرة هي إن مشتقة e أس ثابت مضروب
في t بتساوي نفس الثابت مضروب في الدالة نفسها. ومن هنا، سؤال الثوابت الغامضة ده بيبقى مجرد حيلة جبرية معينة.
الرقم 2 ممكن يتكتب كمان e أس اللوغاريتم الطبيعي لـ 2. مفيش حاجة معقدة هنا، ده مجرد تعريف اللوغاريتم الطبيعي، بيسأل سؤال: e أس إيه يساوي 2.
فالدالة 2 أس t هي نفسها الدالة e أس اللوغاريتم الطبيعي لـ 2 مضروب في t. ومن اللي لسه شايفينه، لما ندمج حقيقة إن e أس t هي مشتقتها مع قاعدة السلسلة،
فمشتقة الدالة دي بتتناسب مع نفسها، مع ثابت تناسب بيساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ 2. وفعلا، لو حطيت اللوغاريتم الطبيعي لـ 2 في الآلة الحاسبة،
هتلاقيه بيطلع 0.6931، الثابت الغامض اللي قابلناه في الأول. ونفس الكلام بيمشي على كل الأساسات التانية.
ثابت التناسب الغامض اللي بيظهر لما بنجيب المشتقات هو ببساطة اللوغاريتم الطبيعي للأساس. في الواقع، في تطبيقات التفاضل والتكامل، نادرا ما
هتشوف دوال أسية مكتوبة على شكل أساس مرفوع لأس t. بدل كده، غالبا هتكتب الدالة الأسية كـ e أس ثابت مضروب في t.
كلهم زي بعض، أصل أي دالة زي 2 أس t أو 3 أس t ممكن تتكتب كمان كـe أس ثابت مضروب في t. عشان منركزش بزيادة على الرموز هنا، عايز أأكد إن فيه طرق كتير نكتب بيها أي دالة أسية معينة.
ولما تشوف حاجة مكتوبة كـ e أس ثابت مضروب في t، فده اختيار عملناه إننا نكتبها بالطريقة دي، والرقم e مش أساسي للدالة نفسها.
المميز في كتابة الدوال الأسية بدلالة e بالشكل ده هو إنه بيدي الثابت اللي في الأس ده معنى واضح ومفهوم.
خليني أوريك هنا قصدي إيه. كل أنواع الظواهر الطبيعية فيها معدل تغيير بيتناسب مع الحاجة اللي بتتغير.
مثلا، معدل نمو السكان فعلا بيميل إنه يتناسب مع حجم السكان نفسه، بافتراض إن مفيش مورد محدود مبطأ الأمور.
ولو حطيت كوباية مية سخنة في أوضة باردة، المعدل اللي المية بتبرد بيه بيتناسب مع فرق الحرارة بين الأوضة والمية، أو بمعنى تاني، المعدل
اللي بيحصل بيه التغير في الفرق ده بيتناسب مع الفرق نفسه هو شخصيا. لو استثمرت فلوسك، معدل نموها بيتناسب مع كمية الفلوس اللي موجودة في أي وقت.
في كل الحالات دي، اللي فيها معدل تغيير متغير معين بيتناسب مع نفسه، الدالة اللي بتوصف المتغير ده مع الوقت هيكون شكلها زي دالة أسية.
ورغم إن فيه طرق كتير نكتب بيها أي دالة أسية، طبيعي جدا إننا نختار نعبر عن الدوال دي كـ e أس ثابت مضروب في t، لإن الثابت ده بيحمل معنى طبيعي جدا.
هو نفسه ثابت التناسب بين حجم المتغير اللي بيتغير ومعدل التغير. وزي العادة، حابب أشكر الناس اللي خلوا السلسلة دي ممكنة.
شكرا ليكم.