풍운의 유튜브 자막 추출기
22:19
Taylor 시리즈에 대해 처음 배웠을 때 나는 그것이 얼마나 중요한지 전혀 인식하지 못했습니다.
그러나 이 개념은 수학, 물리학 및 다양한 공학 분야에서 계속해서 등장합니다.
왜냐하면 수학이 함수를 근사화하기 위해 제공하는 가장 강력한 도구 중 하나이기 때문입니다.
제가 학생이었을 때 처음으로 이런 일이 일어났던 것은 미적분학 수업이 아니라 물리학 수업이었을 때였습니다.
우리는 진자의 위치 에너지와 관련된 특정 문제를 연구하고 있었는데 이를 위해서는
진자의 무게가 가장 낮은 지점보다 얼마나 높은지에 대한 표현이 필요합니다.
1에서 진자와 수직선 사이의 각도의 코사인을 뺀 값에 비례합니다.
우리가 해결하려고 했던 문제의 구체적인 내용은 여기에서 다루지 않습니다. 하지만 제가 말씀드리고
싶은 것은 이 코사인 함수가 문제를 어색하고 다루기 힘들게 만들고 진자가 다른 진동 현상과
어떻게 관련되는지를 덜 명확하게 만들었다는 것입니다. 그러나 세타의 코사인을 1 빼기 세타 제곱/2로
근사하면 모든 것이 훨씬 더 쉽게 제자리에 놓이게 됩니다.
이전에 이와 같은 것을 본 적이 없다면 이와 같은 근사치는 완전히 의외인 것처럼 보일 수 있습니다.
이 함수와 함께 세타의 코사인을 그래프로 그리면 1에서 세타의 제곱을 2로 나눈 것인데,
적어도 0에 가까운 작은 각도에서는 서로 가까워 보입니다. 하지만 이 근사치를 어떻게
생각하겠습니까? 그 특정한 이차식을 찾으세요? Taylor 시리즈에 대한 연구는 주로 비다항식
함수를 취하고 일부 입력 근처에서 이를 근사화하는 다항식을 찾는 것에 관한 것입니다.
여기서의 동기는 다항식이 다른 함수보다 다루기가 훨씬 쉬운 경향이 있다는 것입니다.
계산하기 쉽고, 파생 상품을 사용하기 쉽고, 통합하기 쉽고, 모든 면에서 더 친숙합니다.
그럼 x의 코사인 함수를 살펴보고 x가 0인 근처에서 2차 근사를 어떻게
구성할 수 있는지 잠시 생각해 보겠습니다. 즉, c0 더하기 c1 곱하기 x 더하기 c2
곱하기 x 제곱처럼 보이는 모든 가능한 다항식 중에서 이러한 상수 c0, c1 및 c2 중
일부를 선택하여 x = 0 근처에서 x의 코사인과 가장 유사한 것을 찾으세요. ,
그 지점에서 코사인 x 그래프가 있는 그래프 종류입니다.
음, 우선, 입력 0에서 x의 코사인 값은 1입니다. 따라서 근사치가 조금이라도 좋으려면 입력
x에서 1과 같아야 합니다. 0입니다. 0을 연결하면 c0이 무엇이든 결과가 나오므로
이를 1과 동일하게 설정할 수 있습니다. 이를 통해 우리는 이 근사치를 최대한 좋게 만들기
위해 상수 c1과 c2를 자유롭게 선택할 수 있지만, 이를 사용하여 수행하는 작업은 다항식이 1과 같고
x가 0과 같다는 사실을 바꾸지 않습니다. 우리의 근사치가 관심 지점에서 코사인 x와
동일한 접선 기울기를 갖는다면 좋을 것입니다. 그렇지 않으면 근사치가 필요한 것보다
훨씬 빠르게 코사인 그래프에서 멀어집니다. 코사인의 도함수는 음의 사인이고 x는 0,
즉 0과 같습니다. 이는 접선이 완벽하게 평평하다는 것을 의미합니다.
반면에, 이차 방정식의 도함수를 계산하면 c1 더하기 2 곱하기 c2 곱하기 x를 얻게 됩니다.
x가 0일 때 이것은 우리가 c1에 대해 선택한 것과 같습니다.
따라서 이 상수 c1은 x=0에 대한 근사치의 도함수를 완벽하게 제어할 수 있습니다.
0으로 설정하면 근사값도 이 지점에서 평평한 접선을 갖게 됩니다.
이로 인해 c2를 자유롭게 변경할 수 있지만 x가 0인 다항식의 값과 기울기는
코사인의 값과 일치하도록 고정되어 있습니다. 마지막으로 활용해야 할 점은 코사인 그래프가
x가 0인 경우 아래쪽으로 곡선을 그리며 음의 2차 도함수를 갖는다는 사실입니다.
즉, 해당 지점에서는 변화율이 0이더라도 해당 지점을 중심으로 변화율 자체가 감소하는 것입니다.
구체적으로, 그 도함수는 x의 음의 사인이므로 2차 도함수는 x의 음의
코사인이고 x가 0일 때 이는 음의 1과 같습니다. 이제 우리는 근사치의 도함수를 코사인의 도함수와
일치시켜 그 값이 불필요하게 빠르게 떨어져 나가지 않도록 하고, 두 번째 도함수가 일치하는지
확인하여 동일한 비율로 곡선을 그리도록 하기를 원했습니다. 다항식의 기울기는 필요한 것보다
더 빨리 코사인 x의 기울기에서 벗어나지 않습니다. 이전에 가졌던 것과 동일한 도함수를 꺼내서
그 도함수를 취하면 이 다항식의 2차 도함수는 정확히 c2의 2배라는 것을 알 수 있습니다.
따라서 이 2차 도함수가 x가 0일 때 음수 1과 같다는 것을 확인하려면 c2
곱하기 2가 음수 1이 되어야 합니다. 즉, c2 자체는 음수 1/2이 되어야 합니다.
그리고 이것은 대략 1 더하기 0x 빼기 1 반 x 제곱을 제공합니다.
그리고 코사인을 0으로 추정하면 얼마나 좋은지 느껴보실 수 있습니다.
1 이 다항식을 사용하면 0으로 추정됩니다. 995. 그리고 이것이 코사인 0의 실제값입니다. 1.
정말 좋은 근사치네요! 잠시 시간을 내어 방금 일어난 일을 생각해 보세요.
이 2차 근사, 상수 c0, c1 및 c2를 사용하면 3개의 자유도를 가집니다.
c0은 근사치의 출력이 x가 0인 코사인 x의 출력과 일치하는지 확인하는 역할을 담당했습니다.
c1은 해당 시점에서 파생 상품이 일치하는지 확인하는 역할을 담당했고, c2는 2차 파생
상품이 일치하는지 확인하는 역할을 담당했습니다. 이렇게 하면 x에서 멀어질 때 근사치가 0으로 변하는
방식과 변화율 자체가 변하는 방식이 제어할 수 있는 정도에 따라 코사인 x의 동작과 최대한 유사해집니다.
다항식에 더 많은 항을 허용하고 고차 도함수를 일치시켜 더 많은 제어권을 가질 수 있습니다.
예를 들어, 어떤 상수 c3에 대해 c3 곱하기 x3이라는 항을 추가했다고 가정해 보겠습니다.
이 경우, 3차 다항식의 3차 도함수를 취하면 2차 이하의 모든 것은 0이 됩니다.
마지막 항은 거듭제곱 법칙을 3번 반복한 후 1 곱하기 2 곱하기 3 곱하기 c3 처럼 보입니다.
반면에, 코사인 x의 3차 도함수는 사인 x로 나오며, 이는 x가 0과 같을 때 0과 같습니다.
따라서 3차 도함수가 일치하는지 확인하려면 상수 c3이 0이어야 합니다.
즉, 1 빼기 1 반 x2는 코사인의 가능한 가장 좋은 2차 근사일 뿐만
아니라 가장 좋은 3차 근사이기도 합니다. 4차 항인 c4 곱하기 x를 4차
항에 추가하여 개선할 수 있습니다. 코사인의 4차 도함수는 x가 0일 때 1과 같습니다.
그리고 이 새로운 항을 사용한 다항식의 네 번째 도함수는 무엇입니까?
음, 계속해서 거듭제곱 법칙을 적용하면 지수가 모두 앞쪽으로 뛰어내리면서 결국 1 곱하기 2 곱하기 3
곱하기 4 곱하기 c4, 즉 24 곱하기 c4가 됩니다.
따라서 이것이 코사인 x의 4차 도함수인 1과 일치하도록 하려면 c4는 24분의 1이어야 합니다.
그리고 실제로, 다항식 1 빼기 1 반 x2 더하기 1 24 곱하기 x의 4제곱은 이렇게 보입니다.
이는 x 주위의 코사인 x가 0과 매우 가까운 근사치입니다.
예를 들어 작은 각도의 코사인과 관련된 모든 물리학 문제에서 이 다항식을 x의 코사인으로
대체하면 예측이 거의 눈에 띄지 않게 달라질 수 있습니다.
이제 한 걸음 물러서서 이 프로세스에서 일어나는 몇 가지 일을 살펴보세요.
우선, 이 과정에서 계승항이 매우 자연스럽게 등장합니다.
함수 x에서 n까지 n개의 연속 도함수를 취하여 거듭제곱 법칙이 계속 아래로 내려가도록 두면,
1 곱하기 2 곱하기 3이 계속해서 계속해서 n이 될 때까지 계속됩니다.
따라서 단순히 다항식의 계수를 원하는 도함수와 동일하게 설정하지 않습니다.
이 효과를 상쇄하려면 적절한 계승으로 나누어야 합니다. 예를 들어, 네 번째 계수에 대한 x는 코사인 1의
네 번째 도함수였지만 4 계승값 24로 나누어졌습니다. 두 번째로 주목해야 할 점은 c4 곱하기 x의
4승과 같은 새로운 항을 추가해도 이전 항이 엉망이 되지 않으며 이것이 정말 중요하다는 것입니다.
예를 들어, x가 0인 이 다항식의 2차 도함수는 더 높은 차수의 항을 도입한
후에도 여전히 두 번째 계수의 2배와 같습니다. 그리고 그것은 우리가 x가 0과 같다고 대입하기
때문입니다. 따라서 모두 x를 포함하는 고차 항의 2차 도함수는 그냥 사라져 버릴 것입니다.
그리고 다른 도함수도 마찬가지입니다. 이것이 x가 0인 다항식의 각 도함수가
계수 중 하나만으로 제어되는 이유입니다. 대신 x가 pi와 같은 0이 아닌 입력
근처에 접근하는 경우 동일한 효과를 얻으려면 x 빼기 pi의 거듭제곱 또는 현재 보고
있는 입력의 관점에서 다항식을 작성해야 합니다. 이로 인해 눈에 띄게 더 복잡해 보이지만 우리가
하는 일은 점 pi가 0처럼 보이고 동작하는지 확인하는 것뿐입니다. 따라서 x와 pi를 연결하면
하나의 상수만 남기는 멋진 취소가 많이 발생합니다. 마지막으로 좀 더 철학적인 수준에서 우리가 여기서
하고 있는 일이 어떻게 기본적으로 단일 지점에서 함수의 고차 도함수에 대한 정보를 취하고 이를 해당
지점 근처의 함수 값에 대한 정보로 변환하는지 주목하세요.
원하는만큼 코사인 파생 상품을 사용할 수 있습니다. 이 멋진 순환 패턴, 즉 x의 코사인,
x의 음의 사인, 음의 코사인, 사인을 따르고 반복됩니다.
그리고 이들 각각의 값은 x가 0일 때 계산하기 쉽습니다. 이 순환 패턴은 1,
0, 음수 1, 0을 제공하고 반복됩니다. 그리고 모든 고차 도함수 값을 아는 것은
x의 코사인에 대한 많은 정보입니다. x는 0이라는 단일 숫자만 대입해도 됩니다.
따라서 우리가 하는 일은 해당 정보를 활용하여 이 입력에 대한 근사치를 구하는 것입니다.
그리고 동일한 1, 0, 음수 1을 따라 코사인과 일치하도록 설계된 고차 도함수를 갖는
다항식을 생성하여 수행합니다. 0, 순환 패턴. 그렇게 하려면 다항식의 각 계수가 동일한 패턴을
따르도록 하고 각 계수를 적절한 계승으로 나누어야 합니다.
앞서 언급한 것처럼 이는 많은 거듭제곱 법칙 적용의 계단식 효과를 상쇄하는 것입니다.
임의의 지점에서 이 과정을 중지하여 얻는 다항식을 x의 코사인에 대한 테일러 다항식이라고 합니다.
더 일반적으로, 따라서 더 추상적으로, 코사인 이외의 다른 함수를 다루는 경우 해당 도함수,
2차 도함수 등을 계산하여 원하는 만큼 많은 항을 얻은 다음 각 함수를 평가합니다.
그 중 x는 0입니다. 다항식 근사의 경우, n 항에 대한 각 x의
계수는 0에서 평가된 함수의 n차 도함수 값이어야 하지만 n 계승으로 나누어야 합니다.
이 전체적으로 다소 추상적인 공식은 Taylor 다항식을 다루는 모든
텍스트나 강좌에서 볼 수 있는 것입니다. 그것을 볼 때 상수 항이 다항식의 값이 f의
값과 일치하도록 보장한다고 스스로 생각하십시오. 다음 항은 다항식의 기울기가 x가 0인
함수의 기울기와 일치하는지 확인합니다. 다음 항은 원하는 항 수에 따라 기울기가 변경되는
비율이 해당 지점에서 동일하도록 보장합니다. 더 많은 항을 선택할수록 근사값이 가까워지지만,
얻게 되는 다항식은 더 복잡해집니다. 그리고 상황을 더욱 일반화하기 위해 0이 아닌
입력(a라고 함)에 가까운 근사값을 얻으려면 이 다항식을 x 빼기 a의 거듭제곱으로 작성하고 f의
모든 도함수를 평가해야 합니다. 해당 입력에서 a. 이것이 테일러 다항식의 일반적인 모습입니다.
이 근사치가 원래 함수를 껴안는 경우 변경 값을 변경하면 더 높은 차수의
도함수가 원래 함수의 값과 동일해집니다. 이에 대한 가장 간단하고 의미 있는 예 중 하나는
입력 x가 0인 주변의 x에 대한 함수 e입니다. 도함수를 계산하는 것은 매우 훌륭합니다.
왜냐하면 e에 대한 x의 도함수는 그 자체이기 때문에 2차 도함수도 x에 대한
e이고 세 번째도 마찬가지이기 때문입니다. 따라서 x가 0인 지점에서 이들 모두는 1과 같습니다.
이것이 의미하는 바는 다항식 근사가 원하는 항 수에 따라 1 더하기 1 곱하기 x 더하기 1 나누기
2 곱하기 x 제곱 더하기 1 나누기 3 계승 곱하기 x 세제곱 등과 같은 모습이어야 한다는
것입니다. 이것은 e에서 x까지의 테일러 다항식입니다.
좋아, 그럼 그것을 기초로 미적분학의 모든 주제가 얼마나 연결되어 있는지 보여주기 위해
테일러 다항식의 2차 항을 이해하는 완전히 다른 재미있는 방법을 살펴보겠습니다. 하지만 기하학적으로.
이는 미적분학의 기본 정리와 관련이 있으며, 빠르게 복습이 필요한 경우 1장과 8장에서
설명했습니다. 해당 비디오에서 했던 것처럼 고정된 왼쪽
지점과 가변적인 오른쪽 지점 사이의 일부 그래프 아래 영역을 제공하는 함수를 고려해 보세요.
여기서 우리가 하려는 일은 이전처럼 그래프 자체에 대한 함수가 아니라 이 면적 함수를
어떻게 근사화할지 생각하는 것입니다. 그 영역에 초점을 맞추면 2차
용어가 튀어나오게 됩니다. 미적분학의 기본 정리는 이 그래프 자체가
면적 함수의 도함수를 나타낸다는 점을 기억하세요. dx를 면적의 오른쪽 경계로 살짝 밀어
넣으면 그래프 높이에 dx를 곱한 것과 거의 같은 새로운 면적이 생기기 때문입니다. .
이 근사치는 dx의 선택이 점점 작아질수록 점점 더 정확해집니다.
그러나 이 영역 변화에 대해 더 정확하게 알고 싶다면 0에 접근하지 않는 x의 일부 변화가 주어지면 바로
여기에서 대략 삼각형인 이 부분을 고려해야 합니다. 시작 입력의 이름을 a로 지정하고 그
위에 있는 입력의 이름을 x로 지정하여 변경 사항이 xa가 되도록 하겠습니다.
그 작은 삼각형의 밑변은 변화 xa이고 높이는 그래프의 기울기에 xa를 곱한 값입니다.
이 그래프는 면적 함수의 도함수이므로 기울기는 입력 a에서 평가된 면적 함수의 2차 도함수입니다.
따라서 이 삼각형의 면적(1/2 밑수 x 높이)은 a에서 평가된 이 면적 함수의 2차
도함수에 xa 제곱을 곱한 값의 1/2입니다. 그리고 이것이 바로 Taylor
다항식에서 볼 수 있는 것입니다. 점 a에서 이 면적 함수에 대한 다양한 미분 정보를
알고 있다면 점 x의 면적을 어떻게 근사화하겠습니까? a, f의 a까지의 모든 면적에 여기
이 직사각형의 면적(1차 도함수 xa)과 작은 삼각형의 면적(1/2 곱하기 2차
도함수 xa)을 더해야 합니다. xa 제곱. 저는 이것이 정말 마음에 듭니다.
비록 모든 내용이 조금 지저분해 보일지라도 각 용어는 도표에서 가리킬 수 있을 만큼 매우 명확한 의미를
갖고 있기 때문입니다. 원하신다면 여기서 끝이라고 부를 수 있으며,
이러한 Taylor 다항식을 사용한 근사를 위한 놀랍도록 유용한 도구를 갖게 될 것입니다.
그러나 당신이 수학자처럼 생각한다면, 당신이 물을 수 있는 한 가지 질문은 절대 멈추지
않고 무한히 많은 항을 추가하는 것이 타당한지 여부입니다.
수학에서는 무한합을 계열이라고 합니다. 따라서 유한한 개수의 항을 사용하는 이러한 근사
중 하나를 테일러 다항식이라고 하지만, 무한히 많은 항을 모두 추가하면 테일러 계열이라는
것이 생성됩니다. 무한한 계열이라는 아이디어에는 정말 조심해야 합니다.
실제로 무한히 많은 것을 추가하는 것은 의미가 없기 때문에 계산기의 더하기 버튼을
여러 번만 누를 수 있기 때문입니다. 그러나 각 단계에서 의미가 있는 용어를 점점 더
추가하면 특정 값에 점점 더 가까워지는 계열이 있는 경우 계열이 해당 값에 수렴한다고 말합니다.
또는 이러한 종류의 계열 수렴을 포함하도록 동등성의 정의를 확장하는 것이 편안하다면 계열 전체,
이 무한 합이 수렴되는 값과 같다고 말할 수 있습니다. 예를 들어 e와 x에 대한 Taylor 다항식을
보고 x가 1과 같은 일부 입력을 연결합니다. 다항식 항을 더 추가할수록 총합은 e 값에
점점 더 가까워집니다. 따라서 이 무한 급수는 숫자 e로 수렴한다고 말합니다.
또는 동일한 의미로 숫자 e와 같다고 말합니다. 실제로, x가 2인 것처럼 x의 다른 값을 대입하고
이 값에서 점점 더 높은 차수의 테일러 다항식의 값을 보면 e를 향해 x로 수렴할 것입니다. 전자 제곱.
이는 0에서 아무리 멀리 떨어져 있더라도 모든 입력에 적용됩니다. 비록 이러한 테일러 다항식이 입력 0에서
수집된 도함수 정보로만 구성되더라도 마찬가지입니다. 이와 같은 경우, 우리는 x에 대한 e가 모든 입력
x에서 자신의 Taylor 급수와 같다고 말하는데, 이는 일종의 마법 같은 일이 일어난 것입니다.
이는 사인 및 코사인과 같은 몇 가지 다른 중요한 함수에도 적용되지만 때로는 이러한 계열이 파생 정보를
사용하는 입력 주변의 특정 범위 내에서만 수렴됩니다. 입력 x가 1일 때 x의 자연 로그에 대한
Taylor 시리즈를 계산하면 x가 1일 때 x의 자연 로그의 고차 도함수를 평가하여
구축됩니다. 이는 다음과 같습니다. 0과 2 사이의 입력을 연결하면 이
계열의 항을 점점 더 추가하면 해당 입력의 자연 로그에 점점 더 가까워집니다.
하지만 그 범위를 벗어나면 이 시리즈는 조금이라도 접근하지 못한다.
더 많은 용어를 추가하면 합계가 격렬하게 앞뒤로 튕겨 나옵니다.
x의 자연 로그가 2보다 큰 입력에 대해 완벽하게 잘 정의되어 있음에도 불구하고 예상한
대로 해당 값의 자연 로그에 접근하지 않습니다. 어떤 의미에서 x가 1인 x에서 ln의
도함수 정보는 그렇게까지 전파되지 않습니다. 이와 같이 계열의 항을 더 추가해도 아무 것도
접근하지 않는 경우 계열이 발산한다고 말합니다. 그리고 가까운 입력과 이러한 다항식의 출력이
실제로 수렴하는 지점 사이의 최대 거리를 Taylor 시리즈의 수렴 반경이라고 합니다.
Taylor 시리즈에 대해 더 배울 것이 남아 있습니다.
많은 사용 사례, 이러한 근사의 오류에 대한 경계를 설정하기 위한 전술, 계열이 수렴하고
수렴하지 않는 시기를 이해하기 위한 테스트 등이 있습니다. 그리고 그 문제에 대해 전체적으로
미적분학에 대해 배울 것이 더 많이 남아 있으며 다루지 않은 수많은 주제도 있습니다. 이 시리즈로.
이 비디오의 목표는 스스로 더 많은 것을 배우고 잠재적으로 스스로 더 많은 주제를
재발견할 수 있는 자신감과 효율성을 느낄 수 있는 근본적인 직관을 제공하는 것입니다.
Taylor 시리즈의 경우, 더 많은 것을 탐색할 때 염두에 두어야 할 근본적인
직관은 단일 지점의 파생 정보를 해당 지점 주변의 근사 정보로 변환한다는 것입니다.
이 시리즈를 지지해주신 모든 분들께 다시 한 번 감사드립니다.
이와 같은 다음 시리즈는 확률적으로 나올 것이며 해당 비디오가 제작될 때 조기 액세스를
원한다면 어디로 가야할지 알 수 있습니다.