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初めてテイラーシリーズについて知ったとき、それがどれ ほど重要であるかをまったく理解していませんでした。
しかし、これらは関数を近似するために数学が提供す る最も強力なツールの 1 つであるため、数学、物
理学、および工学の多くの分野で何度も登場します。 学生だった私にとって、これが初めてピンと来たのは、微
積分の授業ではなく、物理学の授業だったと思います。 私たちは振り子の位置エネルギーに関係する特定の問題
を研究していま した。 そのためには、振り子の重量 がその最低点からどれだけ高いか を表す式が必要です。
それを計算すると、次のようになります。 1 から振り子と垂直線の間の角度の余弦を引いたも
のに比例します。 私たちが解決しようとしていた問題の詳細についてはここでは説
明しませんが、ここ で言いたいのは、このコサイン関数のせい で問題が厄介で扱いにくくなり、振り子が
他の振動現象とどのように関係しているのかがわかりにくくなっ たということです。
しかし、シータのコサインを 1 からシータの 2 乗を引いたもの として近似すると、すべ
てがはるかに簡単に適切な位置に収まります。 これまでにこのようなものを見たことがない場合、その
ような近似は完全に常識外れに見えるかもしれません。 この関数 (1 からシータの 2 乗を引いたもの)
とともにシータのコサインをグ ラフにすると、少なくとも 0 に近い小さな角度では、両者はかなり近いように見えま
すが、この近似をどのように行うと考えられますか? 特定の二次方程式を見つけますか?
テイラー級数の研究は主に、非多項式関数を取得し、入 力付近でそれらを近似する多項式を見つけることです。
ここでの目的は、多項式は他の関数より も扱いやすい傾向にあるということです。
それらは計算が簡単で、導関数を取得しやすく、 統合が簡単で、全体的によりフレンドリーです。
それでは、関数 x の余弦を見て、x が 0 に近い二 次近似をどのように構築するかを実際に考えてみましょう。
つまり、c0 に c1 を掛けて x に c2 を掛けて x の 2 乗を加 えたような考えられる
すべての多項式の中から、これらの定数 c0、c1、c2 を選択して、x が 0 に近い x
のコサインに最も似ている多項式を見つけま す。 、その時点でのコサイン x のグラフを持つスプー
ンのようなグラフです。 まず第一に、入力 0 では x のコサインの値は
1 なので、近似が少しでもうま くいくのであれば、入力 x が 0 である場合にも 1 に等しくなるはずです。
0 を入力すると c0 が何になるだけなので、これを 1 に設定できます。
これにより、この近似を可能な限り良好にするために定数 c1 と c2 を自由に選択できるようになりますが
、これらを使用しても、x が 0 に等しいときに多項式が 1 に等しいという事実は変わりません。
また、この注目点で近似値がコサイン x と 同じ接線の傾きを持っていれば良いでしょう。
そうしないと、近似値が必要以上に早くコサイン グラフから離れてしまいます。
コサインの導関数は負のサインであり、x が 0 に等しい場合、 それは 0
に等しく、接線が完全に平坦であることを意味します。 一方、二次方程式の導関数を計算すると、c1
プラス 2 倍 c2 倍 x が得られます。 x が 0 に等しい場合、これは c1
として選択したものと同じになります。 したがって、この定数 c1 は、x が
0 に等しい近似の導関数を完全に制御します。 これを 0 に設定すると、近似もこの点
で平らな接線を持つことが保証されます。 これにより、c2 を自由に変更できるようになりますが、x
が 0 に等しいとき の多項式の値と傾きは、コサイン の値と一致するように所定の位置にロックされます。
最後に利用するのは、コサイン グラフが x が 0 に等しい以 上で下向きにカーブし、負の
2 次導関数を持つという事実です。 つまり、その時点では変化率が0であっても、その付近
では変化率自体が減少しているということになります。 具体的には、その導関数は x の負のサインであるため、その
2 次導関数は x の 負のコサインであり、x が 0 に等しい場合、それは負の 1 に等しくなります。
ここで、近似値の微分値をコサインの微分値と一致させて、 値が不必要に急速に乖離しないようにしたのと同じように、
二次微分値が一致することにより、それらの値が同じ割合で カーブすることが保証されます。 多項式の傾きが必要以上に
急速にコサイン x の傾きから離れることはありません。 以前と同じ導関数を取り出し、その導関数を計
算すると、この多項式の 2 次導関数が c2 のちょうど 2 倍であることがわかります。
したがって、x が 0 に等しいときにこの 2 階導関数も負の 1 に等しくなるようにするには、c2
の 2 倍が負の 1 でなければなりません。 つまり、c2 自体が負の 1 の半分になる必要があります。
これにより、1 プラス 0x マイナス 1 の半分の x 2 乗という近似値が得られます。
コサインを 0 と見積もると、その良さを実感できます。 この多項式を使 用して 1 を計算すると、0
と推定されます。995。 そして、これが 0 のコサインの真の値です。1.
実に良い近似値ですね！ 少し時間を取って、今何が起こったのかを振り返ってください。
この二次近似には 3 つの自由度 (定数 c0、c1、および c2) がありました。
c0 は、x が 0 に等しいとき、近似の出力がコサイン x の出力と一致することを確認する役割を果たしました。
c1 はその時点で導関数が一致することを 確認する責任を負い、 c2 は二次導関数
が一致することを確認する責任を負いました。 これにより、制御量を考慮して、x が 0 から離れるにつれ
て近似が変化する様子、および変化率自体が変化する様子が、コ サイン x の動作と可能な限り類似することが保証されます。
多項式でより多くの項を許可し、高次の導関数を 一致させることで、より詳細に制御できます。
たとえば、ある定数 c3 に対して項 c3 に x3 を掛けたものを追加したとします。
この場合、3次多項式の3次微分を取ると 、2次以下のものはすべて0になります。
最後の項に関しては、べき乗則を 3 回反復した後、 1 回 2 回 3 回 c3 のようになります。
一方、コサイン x の 3 階導関数はサイン x にな り、x が 0 に等しい場合、これは 0 になります。
したがって、3 次導関数が一致することを確認するには、定数 c3 を 0 にする必要があります。
言い換えれば、1 マイナス 1 半分 x2 は、コサインの可能な限り最良の 2
次近似であるだけでなく、可能な限り最良の 3 次近似でもあります。
4 次の項 (c4 に x を掛けたもの) を 4 番目に追加することで改善できます。
コサインの 4 階導関数はそれ自体であり、x が 0 に等しい場合に 1 に等しくなります。
そして、この新しい項を使った多項式の 4 階導関数は何でしょうか?
さて、これらの指数がすべて前に飛び降りる状態でべき乗則を 何度も適用し続けると、最終的には 1 x 2 x 3
x 4 x c4、つまり 24 x c4 になります。 したがって、これをコサイン x の 4
階微分値 (1) と一 致させたい場合、c4 は 24 の 1 でなければなりません。
そして実際、次のような多項式 1 マイナス 1 の半分 x2 プラス 1 の 24 倍 x を 4
番目にすると、x が 0 に等しい付近のコサイン x に非常に近似します。
たとえば、小さな角度の余弦を含む物理問題で は、この多項式を x の余弦に置き換えると
、予測はほとんど気付かないほど異なります。 ここで一歩下がって、このプロセスでいくつか
のことが起こっていることに注目してください。 まず第一に、このプロセスでは階乗項が非常に自然に出てきます。
関数 x の n 個の連続導関数を n に取り、 べき乗則を下にカスケードし続けると、残るのは
1 x 2 x 3 を繰り返し、n まで続きます。 したがって、多項式の係数を必要な導関
数に単純に設定する必要はありません。 この効果を打ち消すには、適切な階乗で除算する必要があります。
たとえば、4 番目の係数の x はコサイン 1 の 4 階導関数ですが、4 階乗の 24 で除算されています。
2 番目に注意すべきことは、この c4 に x を 4 回かけるなど、新しい用語を追加
しても、古い用語がどうあるべきかを台無しにしないということ です。 これは非常に重要です。
たとえば、x が 0 に等しいこの多項式の 2 階導関数は、高次の項を 導入した後でも、依然として
2 番目の係数の 2 倍に等しくなります。 そして、それは、x が 0 に等しいと差し込
んでいるからで、すべて x を含む高次の項の 2 次導関数はそのまま洗い流されてしまいます。
同じことが他の導関数にも当てはまります。 そのため、x が 0 に等 しい多項式の各
導関数は、係数の 1 つだけによって制御されます。 代わりに、x が pi に等しいなど、0
以外の入力を近似する 場合、同じ効果を得るために、x から pi を引いた累乗、ま たは調べている入
力の観点から多項式を記述する必要があります。 これにより、著しく複雑に見えますが、ここで行っているこ
とは、点 pi が 0 のように見え、動作することを確 認することだけなので、x と pi を 代入すると、定数が
1 つだけ残る、多くの優れたキャンセルが行われます。 そして最後に、より哲学的なレベルで、ここで行ってい
ることは基本的に 、単一点における関数の高次導関数 に関する情報を取得し、それをその点
付近の関数の値に関する情報に変換していることに注目 してください。
コサインの導関数は必要なだけ取得できます。 この素晴らしい周期パターンに従い、x のコサイン、x
の負のサイン、負のコサイン、サインが繰り返されます。 これらのそれぞれの値は、x が 0
に等しい場合に計算するのが簡単で、この 循環パターンに 1、0、負の 1、0
が与えられ、それが繰り返されます。 そして、これらすべての高次導関数の値を知ることは、たと
え単一の数値 (x が 0 に等しい) を代入するだけであっても、x のコサインに関する多くの
情報となります。 そこで、私たちが行っていることは、その情報を活用し
てこの入力の近似値を取得することです。 これを行うに は、同じ 1、0、負の 1、
0、循環パターン。 そのためには、多項式の各係数を同じパターンに従うだけで
すが、それぞれを適切な階乗で除算する必要があります。 前に述べたように、これは多くの電力ルール アプリ
ケーションのカスケード効果を打ち消すものです。 このプロセスを任意の時点で停止することで得られる多
項式は、x の余弦のテイラー多項式と呼ばれます。 より一般的に、したがってより抽象的に言えば、コサイン以外
の関数を扱っている 場合、その導関数、二次導関数などを計 算して、必要なだけ多くの項を取得し、そ
れぞれを評価することになります。 そのうちの x は 0 に等しくなります。
多項式近似の場合、n 項に対する各 x の係数は、0 で評価された関 数の n
階導関数の値を n 階乗で割った値でなければなりません。 このやや抽象的な式全体は、テイラー多項式に触
れるテキストやコースでよく目にするものです。 これを見たとき、定数項によって多項式の値が f
の値と一致することが保証されると考えてください。 次の項は、多項式の傾きが x が 0 に等
しい関数の傾きと一致することを保証します。 次の項では、必要な項の数に応じて、その時点での傾き
の変化率が同じになるようにします。 以下同様です。 選択する項が多いほど近似は近づきますが、その代
償として、得られる多項式はより複雑になります。 そして、物事をさらに一般化するために、0 以外の入力
(これを a と呼びます ) に近い値を近似したい場合は、 この多項式を x のべき乗から a を引いた
もので記述し、f の導関数をすべて評価することになります。 その入力では、a.
これは、テイラー多項式が完全に 一般的にどのように見えるかです。
a の値を変更すると、この近似が元の関数に近づくように変 化し、その高次導関数が元の関数の導関数と等しくなります。
これの最も単純で意味のある例の 1 つは、入力 x が 0 に等しい場合の x に対する関数 e です。
導関数の計算は非常に素晴らしく、これ以上に素晴らし いものです。 e の x に対する導関数はそれ自体
なので、2 番目の導関数も x に 対する e になり、その 3 番目の導関数も同様になるからです。
したがって、x が 0 に等しい点では、これらはすべて 1 に等しくなります。
これが意味するのは、多項式近似は、必要な項の数に応じて、1 プラス 1 倍 x プラス 1 の 2 倍 x 2 乗プ
ラス 1 の 3 階乗倍 x 3 乗などのようになります。 これらは、e から x までのテイラー多項式です。
さて、それを基礎として、微積分のすべてのトピックが どのように関連し ているかを示すという精神で、テイ
ラー多項式のこの 2 次の項を理 解するための、まったく別の楽しい方法に移りましょう。
幾何学的に。 これは微積分の基本定理に関連しています。
簡単な復習が 必要な場合は、第 1 章と第 8 章で説明しました。
これらのビデオで行ったように、固定の左点と可変の右点の 間のグラフの下の面積を与える関数を考えてみましょう。
ここでやろうとしているのは、これまでのようにグラフ自体の関 数ではなく、この面積関数を近似する方法を考えることです。
その領域に焦点を当てることで、 二次項が飛び出すことになります。
微積分の基本定理は、このグラフ自体が面積関数の導関 数を表すということ です。 これは、面積の右端に
dx をわずかに移動すると、グラフの高さ に dx を掛けた値にほぼ等しい新しい面積が得られるためです。
この近似は、dx の選択肢がますます小さ くなるにつれて、ますます正確になります。
しかし、0 に近づくことを意図していない x の変化を 考慮して、この面積の変化をより正確にしたい場合は、ここ
で、ほぼ三角形であるこの部分を考慮する必要があります。 開始入力を a 、その上に微調整された入力を
x と名付け、その変更を xa とします。 その小さな三角形の底辺はその変化 xa であり、そ
の高さはグラフの傾きに xa を掛けたものです。 このグラフは面積関数の導関数であるため、その傾きは入力
a で評価された面積関数の 2 次導関数になります。 したがって、この三角形の面積 (底辺の 1/2
と高さの積) は、a で評価されるこ の面積関数の 2 次導関数の 1/2 に xa の 2
乗を乗じたものになります。 これはまさにテイラー多項式で見られるものです。
点 a におけるこの面積関数のさまざまな微分情報がわかって いる場合、点 x における面積をどのように近似しますか?
a、a の f までのすべての面積と、この長方形の面積 (一 次導関数の xa 倍)、および小さな三角形の面積
(二次導 関数の 1/2 倍) を含める必要があります。 xの二乗。
これは非常に気に入っています。 すべてを書き出すと少し乱雑に見えますが、用語
のそれぞれには非常に明確な意味があり、図上でポイン トするだけで済みます。
必要に応じて、ここで終了と呼ぶこともできます。 そうすれば、これらの テイラー多項式で近似
するための非常に便利なツールが手に入ります。 しかし、もしあなたが数学者のように考えているなら、
立ち止まらずに無限に多く の項を追加することに意味 があるのかどうかという疑問が生じるかもしれません。
数学では、無限の和は級数と呼ばれます。 そのため、有限数の項を含 むこれらの近似の
1 つがテイラー多項式と呼ばれますが、無限に 多くの項をすべて加算すると、いわゆるテイラー級数
が得られます。 無限級数という考え方には細心の注意が必要です。
無限に 多くのものを足していくのは実際には意味がな く、電卓 のプラス ボタンを押す回数は限られているからです。
しかし、各ステップで意味のある項をどんどん追加し ていくことで特定の値にどんどん近づいていく系列が
ある場合、その系列はその値に収束すると言います。 あるいは、この種の級数収束を含めるように等価性の定
義を拡張することに抵抗がない場合は、級数全体、つま りこの無限和が収束する値に等しいと言うでしょう。
たとえば、e から x までのテイラー多項式を見て 、x が 1 に等しいなどの入力を差し込みます。
多項式の項をさらに追加すると、総和は値 e にどんどん近づきま す。 そのため、この無限級数は数値
e に収束すると言います。 あ るいは、同じことを言っていて、数値 e に等しいと言います。
実際、x が 2 に等しいなど、x の他の値を代入し、こ の値での高次のテイラー多項式の値を見ると、それらは e
に向かって x に収束することがわかります。 eの二乗。 これらのテイラー多項式が入力 0
で収集された導関数情報のみから構築されているとしても、 これは、入力が 0 からどれだけ離れているかに関係なく、あ
らゆる入力に当てはまります。 このような場合、x に対する e はすべての入力
x において独自のテイ ラー級数に等しいと言います。 これは一種の魔法のようなことが起こります。
これは、サインやコサインなど、他のいくつかの重要 な関数にも当ては まりますが、場合によっては、こ
れらの系列が、使用している導関数情 報の入力を中心とした特定の範囲内でのみ収束するこ
とがあります。 入力 x が 1 に等しい x
の自然対数のテイラー級数を計算 すると、これは x が 1 に等しいときの x の自然対数の高
次導関数を評価することによって構築され、次のようになります。 0 と 2 の間の入力を接続する場合、この系列の項をさらに
追加すると、その入力の自然対数にどんどん近づいていきます。 しかし、その範囲を少しでも外れると
、このシリーズは何にも近づけません。 さらに多くの用語を追加すると、合計は大きく前後します。
ご想像のとおり、x の自然対数は 2 を超える入力に対して完全 に適切に定義され
ていますが、その値の自然対数には近づきません。 ある意味では、x が 1 に等しいときの x
の ln の導関数情報は、そこまで伝播しません。 このような場合、級数の項を追加しても何も近づ
かない場合、級数が分岐していると言います。 そして、近似している入力と、これらの多項
式の出力が実際に収束する点の間の最大距離 は、テイラー級数の収束半径と呼ばれます。
テイラー級数については学ぶべきことがまだ残っています。 多くのユースケース、これらの近似の誤差に限界を設定
するための戦 術、級数がいつ収束するか収束しないか を理解するためのテストがあ り、さらに言えば、微積
分全体と触れられていない無数のトピックに ついては学ぶべきことがまだ残っています。
このシリーズによって。 これらのビデオの目的は、自信を持って効率的に学習し、
場合によっては自分でさらに多くのトピックを再発見でき るようにするための基本的な直観を提供することです。
テイラー級数の場合、そこにあるものをさらに探索すると きに覚えておくべき基本的な直観は、単一点の微分情報
をその点の周囲の近似情報に変換するということです。 このシリーズを応援してくださっ
た皆様に改めて感謝申し上げます。 次のシリーズは確率に基づいたものになるでしょう。
ビデオが作成され たときに早期アクセスした い場合は、どこに行くべきか知っています。