Extractor de Subtítulos de YouTube de Twincloud
22:19
Cuando aprendí por primera vez sobre las series de Taylor, definitivamente no valoré lo importantes que son.
Pero aparecen una y otra vez en matemáticas, física y muchos campos de la ingeniería, porque son una de las herramientas más poderosas que ofrecen
la matemáticas para aproximar funciones. Creo que una de las primeras veces que me hicieron clic como
estudiante no fue en una clase de cálculo, sino en una de física. Estábamos estudiando un problema relacionado con la energía potencial de un péndulo
y para resolverlo, necesitábamos una expresión que indicara qué tan alto estaba el peso del péndulo respecto a su punto más bajo. Cuando haces los cálculos,
resultaba ser proporcional a uno menos el coseno del ángulo entre el péndulo y la vertical.
Ahora bien, los detalles del problema no importan aquí, pero lo que diré es que esta función coseno volvía el problema un poco difícil
de manejar, además que dificultaba ver cómo se relaciona los péndulos con otros fenómenos oscilatorios.
Pero si aproximas el coseno de theta como 1 menos theta al cuadrado entre 2, todo encajaba mucho más fácilmente.
Si nunca has visto algo así antes, una aproximación como esa podría parecer totalmente sacada de la nada.
Quiero decir, si graficas el coseno de theta junto con esta función, 1 menos theta al cuadrado sobre 2, parecen bastante cercanas entre sí,
al menos para ángulos pequeños cerca de 0, pero ¿cómo se te ocurriría hacer esta aproximación, y cómo encuentras esa expresión cuadrática?
El estudio de las series de Taylor se trata sobre todo en tomar funciones no polinomiales y encontrar polinomios que las aproximen cerca de algún valor de entrada.
El motivo de esto es que los polinomios suelen ser mucho más fáciles de manejar que otras funciones, son más fáciles de calcular,
más fáciles de derivar, más fáciles de integrar, en general, mucho más amigables. Así que echemos un vistazo a esta función, el coseno de x,
y pensemos un momento cómo podríamos construir una aproximación cuadrática cercana a x igual a 0.
Es decir, entre todos los posibles polinomios que tienen la forma c0 más c1 por x más c2 por x al cuadrado, para alguna elección de estas constantes,
c0, c1 y c2, encuentra el que más se asemeje al coseno de x cerca de x igual a 0, cuyo gráfico se acomode al gráfico de coseno de x en ese punto.
Bueno, primero que nada, en la entrada 0, el valor de coseno de x es 1, así que si nuestra aproximación va a ser útil,
también debería ser igual a 1 en el punto x igual a 0. Sustituir 0 solo resulta en lo que sea c0, por lo que podemos igualarlo a 1.
Esto nos da libertad de elegir las constantes c1 y c2 para que esta aproximación sea la mejor posible, pero nada de lo que hagamos con
ellas cambiará el hecho de que el polinomio es igual a 1 cuando x es 0. También sería útil que la aproximación tuviera la misma pendiente
de la tangente que el coseno de x en este punto de interés. De lo contrario, la aproximación se alejaría de la
gráfica del coseno mucho más rápido de lo necesario. La derivada de coseno es seno negativo, y en x igual a 0, eso es igual a 0,
lo que significa que la línea tangente es completamente plana. Por otro lado, calculando la derivada de nuestra expresión cuadrática,
obtienes c1 más 2 por c2 por x. En x igual a 0, esto simplemente equivale a lo que elijamos para c1.
Entonces, esta constante c1 tiene control total sobre la derivada de nuestra aproximación alrededor de x igual a 0.
Igualarla a cero garantiza que nuestra aproximación también tenga una línea tangente plana en este punto.
Esto nos permite cambiar c2, pero el valor y la pendiente de nuestro polinomio en x igual a 0 están fijados para coincidir con los del coseno.
La última cosa que podemos aprovechar es que la gráfica del coseno se curva hacia abajo después de x igual a 0, tiene una segunda derivada negativa.
Dicho de otra forma, aunque la tasa de cambio es 0 en ese punto, dicha tasa de cambio está disminuyendo alrededor de este punto.
Específicamente, como su derivada es el seno negativo de x, su segunda derivada es el coseno negativo de x, y en x igual a cero,
eso equivale a menos 1. De la misma manera en que queríamos que la derivada de nuestra aproximación
coincidiera con la del coseno para que sus valores no se separaran innecesariamente rápido, asegurarnos de que sus segundas derivadas coincidan
garantizará que se curven al mismo ritmo, que la pendiente de nuestro polinomio no se aleje de la pendiente del coseno de x más rápido de lo necesario.
Al tomar nuevamente la derivada que teníamos antes y derivarla, vemos que la segunda derivada de este polinomio es exactamente dos veces c2.
Para asegurarnos de que esta segunda derivada también sea igual a menos 1 en x igual a 0, 2 por c2 tiene que ser igual a menos 1, lo que significa que
c2 debe ser igual a menos un medio. Y esto nos da la aproximación 1 más 0x menos un medio de x al cuadrado.
Para tener una idea de lo bien que funciona, si estimas el coseno de 0.1 usando este polinomio, estimarías que es 0.995, y este es el valor verdadero del coseno de 0.1.
¡Es una excelente aproximación! Tómate un momento para reflexionar en lo que pasó.
Tenías 3 grados de libertad con esta aproximación cuadrática: las constantes c0, c1 y c2. c0 se encargó de asegurar que el resultado de la aproximación coincidiera con el de
la función coseno en x igual a 0, c1 se encargó de garantizar que las derivadas coincidieran en ese punto, y c2 se aseguró de que las segundas derivadas coincidieran.
Esto asegura que la forma en que tu aproximación cambia a medida que te alejas de x igual a 0, y la manera en que cambia la tasa de cambio en sí,
sea lo más similar posible al comportamiento de coseno de x, dado el control que tienes. Podrías darte más control permitiendo más términos en tu
polinomio y haciendo coincidir derivadas de orden superior. Por ejemplo, supongamos que agregas el término c3 por x al cubo para alguna constante c3.
En ese caso, si tomas la tercera derivada de un polinomio cúbico, cualquier término cuadrático o pequeño, tiende a 0.
Y en cuanto a ese último término, después de 3 iteraciones de la regla de potencias, se ve como 1 por 2 por 3 por c3.
Por otro lado, la tercera derivada de coseno de x resulta ser seno de x, que es igual a 0 cuando x es igual a 0.
Así que, para asegurarnos de que las terceras derivadas coincidan, la constante c3 debe ser 0.
En otras palabras, no solo 1 menos 1 medio por x al cuadrado es la mejor aproximación cuadrática posible del coseno, también es la mejor aproximación cúbica posible.
De hecho puedes mejorarlo añadiendo un término de cuarto orden, c4 por x a la cuarta. La cuarta derivada de coseno es ella misma, que es igual a 1 cuando x es igual a 0.
Y, ¿cuál es la cuarta derivada de nuestro polinomio con este nuevo término? Bueno, cuando sigues aplicando la regla de potencias una y otra vez,
con esos exponentes bajando al frente, terminas con 1 por 2 por 3 por 4 por c4, lo cual es 24 por c4.
Así que si queremos que esto coincida con la cuarta derivada de coseno de x, que es 1, c4 tiene que ser 1 entre 24.
Y de hecho, el polinomio 1 menos 1 medio x al cuadrado más 1 sobre 24 veces x a la cuarta, que se ve así, es una aproximación muy cercana para coseno de x alrededor de x
igual a 0. En cualquier problema de física que involucre el coseno de un ángulo pequeño,
las predicciones serían casi idénticas si sustituyes este polinomio por el coseno de x. Ahora toma un paso hacia atrás y nota algunas cosas de este proceso.
En primer lugar, los términos factoriales surgen naturalmente en este proceso. Cuando tomas n derivadas sucesivas de la función x elevado a la n,
permitiendo que la regla de potencias siga dejando caer números, lo que te quedará será 1 por 2 por 3 hasta llegar al valor de n.
Entonces, no simplemente eliges los coeficientes del polinomio dependiendo la derivada que quieras, tienes que dividir por el factorial adecuado para cancelar este efecto.
Por ejemplo, ese coeficiente de x a la cuarta era la cuarta derivada de coseno, 1, pero dividido entre 4 factorial, 24.
Lo segundo que hay que notar es que agregar nuevos términos, como este c4 por x a la cuarta, no altera lo que deberían ser los términos anteriores,
y eso es muy importante. Por ejemplo, la segunda derivada de este polinomio en x igual a 0 sigue siendo igual a
2 por el segundo coeficiente, incluso después de introducir términos de orden superior. Y es porque estamos sustituyendo x igual a 0, así que la segunda derivada de cualquier
término de orden superior, que todos incluyen una x, simplemente desaparecerá. Y lo mismo ocurre con cualquier otra derivada,
por lo que cada derivada de un polinomio en x igual a 0 está controlada por uno y solo uno de los coeficientes.
Si en lugar de eso estuvieras aproximando cerca de una entrada distinta de 0, como x igual a pi, para obtener el mismo efecto,
tendrías que escribir tu polinomio en términos de potencias de x menos pi, o de la entrada que estés considerando.
Esto lo hace parecer notablemente más complicado, pero en realidad solo nos estamos asegurando de que el punto pi se vea y se comporte
como si fuera 0, de modo que al sustituir x igual a pi, se produzcan muchas cancelaciones útiles que dejen solo una constante.
Y finalmente, en un nivel más filosófico, nota que lo que estamos haciendo aquí es, en esencia, tomar información sobre derivadas de orden superior de una función en un
solo punto, y luego traducirla en información sobre el valor de la función cerca de ese punto.
Puedes derivar la función coseno tantas veces como quieras. Sigue un patrón cíclico muy bonito: coseno de x,
menos seno de x, menos coseno, seno, y luego se repite. Y el valor de cada una de estas derivadas es fácil de calcular cuando x es igual a cero.
Nos da este patrón cíclico: 1, 0, menos 1, 0, y luego se repite. Y conocer los valores de todas esas derivadas de orden superior aporta mucha información
sobre el coseno de x, aunque solo implique evaluar un único valor, x igual a cero. Entonces, lo que estamos haciendo es aprovechar esa información para obtener
una aproximación en torno a ese valor de entrada, y lo logramos creando un polinomio cuyas derivadas de orden superior están
diseñadas para coincidir con las del coseno, siguiendo ese mismo patrón cíclico: 1, 0, menos 1, 0.
Y para lograrlo, basta con hacer que cada coeficiente del polinomio siga ese mismo patrón, pero dividiendo cada uno entre el factorial correspondiente.
Como dije antes, esto es lo que cancela el efecto en cascada de múltiples aplicaciones de la regla de la potencia.
Los polinomios que obtienes al detener este proceso en cualquier punto se llaman polinomios de Taylor para el coseno de x.
De manera más general, y por lo tanto más abstracta, si tratáramos con otra función distinta a la del coseno, calcularíamos su derivada,
segunda derivada, y así sucesivamente, obteniendo tantos términos como se desee, y evaluándolos todos en x igual a 0.
Para la aproximación polinómica, el coeficiente de cada término x elevado a la n debe ser el valor de la n-ésima derivada de la función evaluada en 0,
pero dividido entre n factorial. Esta fórmula algo abstracta es algo que probablemente verás en
cualquier texto o curso que trate sobre los polinomios de Taylor. Y cuando lo veas, quiero que pienses que el término constante asegura que el
valor del polinomio coincida con el valor de f, el siguiente término asegura que la pendiente del polinomio coincida con la
pendiente de la función en x igual a 0, el siguiente término asegura que la tasa a la que cambia la pendiente sea la misma en ese punto, y así sucesivamente,
dependiendo de cuántos términos quieras. Y cuanto más términos elijas, más cerca estará la aproximación,
pero la contraparte es que el polinomio resultante será más complicado. Y para hacerlo aún más general, si quisieras aproximar cerca de un punto distinto de 0,
al que llamaremos a, escribirías este polinomio en términos de potencias de x menos a, y evaluarías todas las derivadas de f en ese punto, a.
Así es como se ven los polinomios de Taylor en su forma más general. Cambiar el valor de a cambia el lugar donde esta aproximación se ajusta a la función
original, donde sus derivadas de orden superior serán iguales a las de la función original.
Uno de los ejemplos más sencillos y significativos de esto es la función e a la x alrededor de la entrada x igual a 0.
Calcular las derivadas es muy sencillo, lo más fácil posible, ya que la derivada de e elevado a x es ella misma, por lo que la segunda,
tercera y todas las derivadas son e a la x. Así que, en el punto x igual a 0, todos estos son iguales a 1.
Y esto significa que nuestra aproximación polinómica debería verse como 1 más 1 por x más 1 sobre 2 por x al cuadrado más 1 sobre 3 factorial por x al cubo,
y así sucesivamente, dependiendo de cuántos términos quieras. Estos son los polinomios de Taylor para e a la x.
Bien, con eso como base, con el fin de mostrarte lo conectados que están todos los temas de cálculo, pasemos a algo divertido: una forma completamente diferente de entender
este término de segundo orden de los polinomios de Taylor, pero de manera geométrica. Está relacionado con el teorema fundamental del cálculo,
del que hablé en los capítulos 1 y 8, por si necesitas un repaso rápido. Como hicimos en esos videos, considera una función que da el área bajo una
curva entre un punto fijo a la izquierda y un punto variable a la derecha. Lo que vamos a hacer aquí es pensar en cómo aproximar esta función de área,
no la función para la curva en sí, como lo hemos estado haciendo antes. Enfocarnos en esa área es lo que hará que el término de segundo orden se destaque.
Recuerda que el teorema fundamental del cálculo establece que este gráfico representa la derivada de la función de área,
ya que un pequeño desplazamiento dx en el límite derecho del área genera un nuevo trozo de área, aproximadamente igual a la altura del gráfico
multiplicada por dx. Y esa aproximación es cada vez más precisa a medida que se elige un dx más pequeño.
Pero si quisieras ser más preciso acerca de este cambio en el área, dado un cambio en x que no tiende a 0, tendrías que tener en cuenta esta porción aquí,
que es aproximadamente un triángulo. Vamos a llamar al valor inicial a y al valor ajustado x,
de modo que el cambio sea x menos a. La base de ese pequeño triángulo es el cambio, x menos a,
y su altura es la pendiente del gráfico multiplicada por x menos a. Dado que este gráfico es la derivada de la función área,
su pendiente es la segunda derivada de la función área, evaluada en el valor de entrada a.
Así que el área de este triángulo, 1 medio de base por altura, es 1 medio por la segunda derivada de esta función área, evaluada en a,
multiplicada por x menos a al cuadrado. Y esto es exactamente lo que verías con un polinomio de Taylor.
Si conocieras la información de las diversas derivadas de esta función de área en el punto a, ¿cómo aproximarías el área en el punto x?
Bueno, tendrías que incluir toda el área hasta a, f de a, más el área de este rectángulo aquí, que es la primera derivada,
multiplicada por x menos a, más el área de ese pequeño triángulo, que es 1 medio de la segunda derivada, multiplicada por x menos a al cuadrado.
Me gusta mucho esto, porque aunque parece algo desordenado, cada término tiene un significado claro que puedes identificar fácilmente en el diagrama.
Si quisieras, podríamos dar por terminado aquí, y tendrías una herramienta fenomenalmente útil para aproximar estos polinomios de Taylor.
Pero si piensas como un matemático, una pregunta que te podrías hacer es si tiene sentido no detenerse nunca y agregar un número infinito de términos.
En matemáticas, una suma infinita se llama serie, por lo que, aunque una aproximación con un número finito de términos se denomina
polinomio de Taylor, al sumar todos los términos infinitos obtenemos una serie de Taylor. Hay que ser cuidadosos con la idea de una serie infinita,
porque en realidad no tiene sentido sumar infinitas cantidades; solo puedes presionar el botón de suma en la calculadora un número limitado de veces.
Pero si tienes una serie en la que al agregar más y más términos, lo cual tiene sentido en cada paso, te acercas cada vez más a un valor específico,
lo que se dice es que la serie converge a ese valor. O, si te sientes cómodo extendiendo la definición de igualdad para
incluir este tipo de convergencia de series, dirías que la serie en su conjunto, esta suma infinita, es igual al valor al que está convergiendo.
Por ejemplo, mira el polinomio de Taylor para e a la x, y reemplaza un valor de entrada, como x igual a 1.
A medida que agregas más y más términos al polinomio, la suma total se acerca cada vez más al valor de e,
por lo que se dice que esta serie infinita converge al número e, o lo que es lo mismo, que es igual al número e.
De hecho, resulta que si sustituyes cualquier otro valor de x, como x igual a 2, y observas el valor de los polinomios de Taylor de orden cada vez mayor en este valor,
estos convergerán hacia e elevado a x, que en este caso es e al cuadrado. Esto es cierto para cualquier valor de entrada,
sin importar cuán alejado esté de 0, aunque los polinomios de Taylor se construyan solo con la información obtenida de las derivadas en 0.
En un caso como este, decimos que e elevado a x es igual a su propia serie de Taylor para cualquier valor de x, lo cual es algo bastante sorprendente.
Aunque esto también es cierto para otras funciones importantes, como el seno y el coseno, a veces estas series solo convergen dentro de un rango específico alrededor del punto
de entrada cerca del punto en el que se toma la información de las derivadas. Si desarrollas la serie de Taylor del logaritmo natural de x alrededor
del punto x igual a uno, construida evaluando las derivadas de orden superior del logaritmo en ese mismo punto, obtienes lo siguiente.
Si sustituyes con un valor entre cero y dos, sumar cada vez más términos de la serie te acerca cada vez más al logaritmo natural de ese valor.
Pero fuera de ese rango, aunque sea por un poco, la serie deja de acercarse a algún valor. A medida que sumas más términos, el resultado simplemente oscila de forma descontrolada.
No se aproxima, como esperarías, al logaritmo natural de ese valor, aunque el logaritmo natural de x esté perfectamente definido para valores mayores que 2.
En cierto sentido, la información de la derivada de ln de x en x igual a uno no se extiende tan lejos.
En un caso como este, donde agregar más términos de la serie no se aproxima a nada, se dice que la serie diverge.
Y esa distancia máxima entre el punto al que te aproximas y los puntos donde las salidas de estos polinomios realmente
convergen se llama el radio de convergencia de la serie de Taylor. Aún queda más por aprender sobre las series de Taylor.
Existen muchos casos de uso, tácticas para establecer límites en el error de estas aproximaciones, pruebas para entender cuándo las series convergen o no,
y, de hecho, queda mucho más por aprender sobre el cálculo en general, y los innumerables temas que no se han tocado en esta serie.
El objetivo de estos videos es brindarte las ideas fundamentales que te hagan sentir seguro y eficiente al aprender más por tu cuenta,
e incluso, potencialmente, redescubrir más del tema por ti mismo. En el caso de las series de Taylor, la idea fundamental a tener en cuenta
mientras exploras más sobre el tema es que traducen la información de las derivadas en un solo punto a información de aproximación alrededor de ese punto.
Gracias una vez más a todos los que apoyaron esta serie. La próxima serie será sobre probabilidad, y si quieres acceso
anticipado a medida que se hagan esos videos, ya sabes a dónde ir.