Taylor series | Chapter 11, Essence of calculus - ar - مستخرج ترجمات YouTube من Twincloud

عندما علمت لأول مرة عن سلسلة تايلور، لم أكن أقدر مدى أهميتها بالتأكيد. لكنها تظهر مرارًا وتكرارًا في الرياضيات والفيزياء والعديد من مجالات

الهندسة لأنها واحدة من أقوى الأدوات التي تقدمها الرياضيات لتقريب الوظائف. أعتقد أن إحدى المرات الأولى التي لفتت انتباهي هذا الأمر

كطالب لم تكن في فصل حساب التفاضل والتكامل، بل في فصل الفيزياء. كنا ندرس مسألة معينة لها علاقة بالطاقة الكامنة للبندول، ولهذا تحتاج

إلى تعبير عن مدى ارتفاع وزن البندول فوق أدنى نقطة له، وعندما تحسب ذلك يخرج يتناسب مع 1 ناقص جيب تمام الزاوية بين البندول والعمودي.

إن تفاصيل المشكلة التي كنا نحاول حلها تتجاوز النقطة هنا، ولكن ما سأقوله هو أن وظيفة جيب التمام هذه جعلت المشكلة غريبة وغير عملية،

وجعلت كيفية ارتباط البندولات بالظواهر المتذبذبة الأخرى أقل وضوحًا. لكن إذا قمت بتقريب جيب تمام ثيتا إلى 1 ناقص ثيتا

تربيع على 2، فإن كل شيء يقع في مكانه بسهولة أكبر. إذا لم يسبق لك أن رأيت شيئًا كهذا من قبل، فقد يبدو تقريب كهذا خارج المجال الأيسر تمامًا.

إذا قمت برسم بياني لجيب تمام ثيتا مع هذه الدالة، 1 ناقص ثيتا تربيع على 2، فإنها تبدو قريبة من بعضها البعض، على الأقل بالنسبة للزوايا الصغيرة القريبة من 0، ولكن

كيف تفكر في إجراء هذا التقريب، وكيف يمكنك العثور على تلك الدرجة التربيعية معينة؟ تتمحور دراسة متسلسلة تايلور إلى حد كبير حول أخذ دوال غير متعددة

الحدود وإيجاد كثيرات الحدود التي تقاربها بالقرب من بعض المدخلات. الدافع هنا هو أن التعامل مع كثيرات الحدود أسهل بكثير من التعامل مع الدوال الأخرى.

إنها أسهل في الحساب، وأسهل في أخذ المشتقات، وأسهل في التكامل، وهي أكثر ودية في كل مكان. لذلك دعونا نلقي نظرة على تلك الدالة، جيب تمام x، ونأخذ لحظة

للتفكير في كيفية إنشاء تقريب تربيعي بالقرب من x يساوي 0. أي أنه من بين جميع كثيرات الحدود المحتملة التي تبدو مثل c0 زائد c1 في x

زائد c2 في x تربيع، بالنسبة لبعض الاختيارات من هذه الثوابت، c0 وc1 وc2، ابحث عن الثوابت الأكثر تشابهًا مع جيب تمام x بالقرب من x يساوي 0 ، الذي

يشبه الرسم البياني الملاعق مع الرسم البياني لجيب التمام x عند تلك النقطة. حسنًا، أولاً وقبل كل شيء، عند المدخل 0، تكون قيمة جيب تمام x هي 1، لذلك إذا كان

تقريبنا سيكون جيدًا على الإطلاق، فيجب أن يساوي أيضًا 1 عند الإدخال x يساوي 0. يؤدي توصيل 0 إلى الحصول على قيمة c0، لذا يمكننا ضبط ذلك على 1.

وهذا يترك لنا الحرية في اختيار الثوابت c1 وc2 لجعل هذا التقريب جيدًا قدر الإمكان، ولكن لن يغير أي شيء نفعله بهما حقيقة أن كثير الحدود يساوي 1 عند x يساوي 0.

سيكون من الجيد أيضًا أن يكون لتقريبنا نفس ميل الظل مثل جيب التمام x عند هذه النقطة محل الاهتمام.

وبخلاف ذلك، فإن التقريب ينجرف بعيدًا عن الرسم البياني لجيب التمام بشكل أسرع بكثير مما يحتاج إليه.

مشتق جيب التمام هو جيب التمام السلبي، وعند x يساوي 0، يساوي 0، مما يعني أن خط المماس مسطح تمامًا.

من ناحية أخرى، عند إيجاد مشتقة المعادلة التربيعية، تحصل على c1 زائد 2 في c2 في x. عند x يساوي 0، هذا يساوي ما نختاره لـ c1.

لذا فإن هذا الثابت c1 له سيطرة كاملة على مشتقة تقريبنا حول x يساوي 0. إن ضبطه على 0 يضمن أن التقريب الخاص بنا يحتوي أيضًا على خط مماس مسطح عند هذه النقطة.

هذا يتركنا أحرارًا في تغيير c2، لكن قيمة وميل كثير الحدود لدينا عند x يساوي 0 يتم تثبيتهما في مكانهما لمطابقة قيمة جيب التمام.

الشيء الأخير الذي يجب الاستفادة منه هو حقيقة أن الرسم البياني لجيب التمام ينحني للأسفل فوق x يساوي 0، وله مشتق ثانٍ سلبي.

أو بمعنى آخر، على الرغم من أن معدل التغيير هو 0 عند تلك النقطة، فإن معدل التغيير نفسه يتناقص حول تلك النقطة.

على وجه التحديد، بما أن مشتقها هو جيب التمام السالب لـ x، فإن مشتقها الثاني هو جيب تمام السالب لـ x، وعند x يساوي 0، يساوي سالب 1.

الآن بنفس الطريقة التي أردنا فيها أن تتطابق مشتقة تقريبنا مع مشتقة جيب التمام، بحيث لا تنجرف قيمها بسرعة دون داع، والتأكد من تطابق مشتقاتها الثانية سيضمن أنها تنحني بنفس

المعدل، لا ينجرف ميل كثير الحدود الخاص بنا بعيدًا عن ميل جيب التمام x بسرعة أكبر مما يحتاج إليه.

بسحب نفس المشتقة التي كانت لدينا من قبل، ثم أخذ مشتقتها، نجد أن المشتقة الثانية لكثيرة الحدود هذه هي بالضبط 2 في c2.

لذا للتأكد من أن هذا المشتق الثاني يساوي أيضًا سالب 1 عند x يساوي 0، 2 في c2 يجب أن يساوي سالب 1، مما يعني أن c2 نفسها يجب أن تكون سالب 1 نصف.

وهذا يعطينا التقريب 1 زائد 0x ناقص 1 نصف x تربيع. وللتعرف على مدى جودتها، إذا قمت بتقدير جيب التمام بـ

0.1 باستخدام هذا كثير الحدود، يمكنك تقديره ليكون 0.995. وهذه هي القيمة الحقيقية لجيب التمام 0.1.

إنه تقريب جيد حقًا! خذ لحظة للتفكير في ما حدث للتو.

لقد حصلت على ثلاث درجات من الحرية مع هذا التقريب التربيعي، الثوابت c0 وc1 وc2. كان c0 مسؤولاً عن التأكد من أن مخرجات التقريب تتطابق مع جيب التمام x عند x يساوي 0.

كان c1 مسؤولاً عن التأكد من تطابق المشتقات عند تلك النقطة، وكان c2 مسؤولاً عن التأكد من تطابق المشتقات الثانية.

يضمن هذا أن الطريقة التي يتغير بها تقريبك عندما تبتعد عن x تساوي 0، والطريقة التي يتغير بها معدل التغيير نفسه، تشبه قدر الإمكان سلوك جيب التمام x، نظرًا لمقدار التحكم الذي لديك.

يمكنك أن تمنح نفسك مزيدًا من التحكم من خلال السماح بمزيد من الحدود في كثيرات الحدود ومطابقة المشتقات ذات الترتيب الأعلى.

على سبيل المثال، لنفترض أنك أضفت الحد c3 مضروبًا في x3 لبعض الثابت c3. في هذه الحالة، إذا أخذت المشتقة الثالثة لكثيرة

حدود مكعبة، فإن أي شيء تربيعي أو أصغر يذهب إلى 0. أما بالنسبة لهذا الحد الأخير، بعد 3 تكرارات لقاعدة

القوة، فإنه يبدو مثل 1 ضرب 2 ضرب 3 ضرب c3. من ناحية أخرى، فإن المشتق الثالث لجيب التمام x

يخرج إلى جيب التمام x، والذي يساوي 0 عند x يساوي 0. لذا للتأكد من تطابق المشتقات الثالثة، يجب أن يكون الثابت c3 0.

أو بعبارة أخرى، 1 ناقص 1 نصف x2 ليس فقط أفضل تقريب تربيعي ممكن لجيب التمام، بل هو أيضًا أفضل تقريب تكعيبي ممكن.

يمكنك إجراء تحسين عن طريق إضافة حد الترتيب الرابع، c4 ضرب x إلى الرابع. المشتق الرابع لجيب التمام هو نفسه، والذي يساوي 1 عند x يساوي 0.

وما المشتقة الرابعة لكثيرة الحدود بهذا المصطلح الجديد؟ حسنًا، عندما تستمر في تطبيق قاعدة القوة مرارًا وتكرارًا، مع قفز كل هذه الأسس في

المقدمة، سينتهي بك الأمر بـ 1 ضرب 2 ضرب 3 ضرب 4 ضرب c4، وهو ما يساوي 24 ضرب c4. لذا، إذا أردنا أن يتطابق هذا مع المشتقة الرابعة

لجيب التمام x، وهي 1، فيجب أن يكون c4 1 على 24. وفي الواقع، كثير الحدود 1 ناقص 1 نصف x2 زائد 124 ضرب x أس الرابع،

والذي يبدو بهذا الشكل، هو تقريب قريب جدًا لجيب التمام x حول x يساوي 0. في أي مسألة فيزيائية تتضمن جيب تمام زاوية صغيرة، على سبيل المثال، ستكون

التنبؤات مختلفة بشكل غير ملحوظ إذا قمت باستبدال كثير الحدود هذا بجيب تمام x. الآن خذ خطوة إلى الوراء ولاحظ بعض الأشياء التي تحدث في هذه العملية.

أولًا، تظهر الحدود العاملية بشكل طبيعي جدًا في هذه العملية. عندما تأخذ n من المشتقات المتعاقبة للدالة x إلى n، مع السماح لقاعدة القوة

بالاستمرار في التتالي للأسفل، ما سيتبقى لك هو 1 ضرب 2 ضرب 3 وهكذا حتى يصل إلى n. لذا، لا يمكنك ببساطة تعيين معاملات كثيرة الحدود مساوية لأي مشتق تريده.

يجب عليك القسمة على العامل المناسب لإلغاء هذا التأثير. على سبيل المثال، كان x إلى المعامل الرابع هو المشتق

الرابع لجيب التمام، 1، ولكنه مقسوم على مضروب 4، 24. الشيء الثاني الذي يجب ملاحظته هو أن إضافة مصطلحات جديدة، مثل c4 ضرب x إلى

الرابع، لا يفسد ما ينبغي أن تكون عليه المصطلحات القديمة، وهذا مهم حقًا. على سبيل المثال، المشتق الثاني لكثيرة الحدود هذا عند x يساوي 0 لا يزال

يساوي 2 أضعاف المعامل الثاني، حتى بعد إدخال مصطلحات ذات ترتيب أعلى. وذلك لأننا نعوض بـ x بـ 0، وبالتالي فإن المشتقة الثانية

لأي حد ذو ترتيب أعلى، والتي تتضمن جميعها x، سوف تختفي. وينطبق الشيء نفسه على أي مشتق آخر، ولهذا السبب يتم التحكم في

كل مشتق من كثيرة الحدود عند x يساوي 0 بواسطة معامل واحد فقط. إذا كنت بدلاً من ذلك تقترب من مدخل آخر غير 0، مثل x يساوي pi، من أجل الحصول على نفس

التأثير، سيتعين عليك كتابة كثير الحدود الخاص بك من حيث قوى x ناقص pi، أو أي مدخلات تنظر إليها.

هذا يجعل الأمر يبدو أكثر تعقيدًا بشكل ملحوظ، لكن كل ما نفعله هو التأكد من أن النقطة pi تبدو وتتصرف مثل 0، لذا فإن توصيل x بـ pi

سيؤدي إلى الكثير من الإلغاء اللطيف الذي يترك ثابتًا واحدًا فقط. وأخيرًا، على مستوى أكثر فلسفية، لاحظ كيف أن ما نفعله هنا هو في

الأساس أخذ معلومات حول المشتقات ذات الترتيب الأعلى للدالة عند نقطة واحدة، وترجمة ذلك إلى معلومات حول قيمة الدالة بالقرب من تلك النقطة.

يمكنك أن تأخذ العديد من مشتقات جيب التمام كما تريد. ويتبع هذا النمط الدوري الجميل، جيب التمام لـ x، وجيب التمام

السالب لـ x، وجيب التمام السلبي، وجيب التمام، ثم كرر. ومن السهل حساب قيمة كل واحدة منها عند x تساوي 0،

فهي تعطي هذا النمط الدائري 1، 0، سالب 1، 0، ثم تكرر. ومعرفة قيم كل تلك المشتقات ذات الترتيب الأعلى هي معلومات كثيرة حول

جيب تمام x، على الرغم من أنها تتضمن فقط التعويض برقم واحد، x يساوي 0. إذن ما نقوم به هو الاستفادة من تلك المعلومات للحصول على تقدير تقريبي حول هذا

المدخل، ويمكنك القيام بذلك عن طريق إنشاء كثيرة الحدود التي تم تصميم مشتقاتها ذات الترتيب الأعلى لتتوافق مع مشتقات جيب التمام، بعد نفس 1، 0، سالب 1، 0، نمط دوري.

وللقيام بذلك، ما عليك سوى جعل كل معامل لكثيرة الحدود يتبع نفس النمط، ولكن عليك قسمة كل واحد على المضروب المناسب.

كما ذكرت من قبل، هذا هو ما يلغي التأثير المتتالي للعديد من تطبيقات قواعد القوة. تسمى كثيرات الحدود التي تحصل عليها عن طريق إيقاف

هذه العملية في أي نقطة بمتعددات تايلور لجيب تمام x. بشكل أكثر عمومية، وبالتالي بشكل أكثر تجريدًا، إذا كنا نتعامل مع دالة أخرى

غير جيب التمام، فستحسب مشتقتها، ومشتقتها الثانية، وما إلى ذلك، وتحصل على العدد الذي تريده من الحدود، وستقوم بتقييم كل واحد منها منهم في x يساوي 0.

بالنسبة لتقريب كثيرات الحدود، يجب أن يكون معامل كل x إلى الحد n هو قيمة المشتق n للدالة التي تم تقييمها عند 0، ولكن مقسومًا على مضروب n.

هذه الصيغة المجردة إلى حد ما هي شيء من المحتمل أن تراه في أي نص أو دورة تدريبية تتناول كثيرات حدود تايلور.

عندما تراه، فكر في نفسك أن الحد الثابت يضمن تطابق قيمة كثيرة الحدود مع قيمة f. يضمن الحد التالي أن ميل كثير الحدود يطابق ميل الدالة عند x يساوي 0.

يضمن الحد التالي أن معدل تغير الميل هو نفسه عند تلك النقطة، وهكذا، اعتمادًا على عدد الحدود التي تريدها.

وكلما زاد عدد المصطلحات التي تختارها، كلما كان التقريب أقرب، ولكن المفاضلة هي أن كثيرة الحدود التي ستحصل عليها ستكون أكثر تعقيدًا.

ولجعل الأمور أكثر عمومية، إذا أردت التقريب بالقرب من بعض المدخلات بخلاف 0، والتي سنسميها a، فستكتب كثير الحدود هذا

بدلالة قوى x ناقص a، وستقوم بتقييم جميع مشتقات f عند هذا الإدخال، أ. هذا هو ما تبدو عليه كثيرات حدود تايلور في عموميتها الكاملة.

تغيير قيمة التغييرات حيث يكون هذا التقريب محتضنًا للدالة الأصلية، حيث ستكون مشتقاتها ذات الرتبة الأعلى مساوية لمشتقات الدالة الأصلية.

واحدة من أبسط الأمثلة ذات المغزى على ذلك هي الدالة e إلى x حول الإدخال x يساوي 0. إن حساب المشتقات أمر رائع جدًا، بقدر ما هو لطيف، لأن مشتق e إلى x هو نفسه،

وبالتالي فإن المشتق الثاني هو أيضًا e إلى x، كما هو الحال مع المشتق الثالث، وهكذا. إذن عند النقطة x تساوي 0، كل هذه تساوي 1.

وما يعنيه ذلك هو أن تقريبنا متعدد الحدود يجب أن يبدو مثل 1 زائد 1 ضرب x زائد 1 على 2 ضرب x تربيع زائد 1 على مضروب 3 ضرب x مكعب، وهكذا، اعتمادًا على عدد الحدود التي تريدها.

هذه هي كثيرات حدود تايلور من e إلى x. حسنًا، مع ذلك كأساس، وبروح لإظهار مدى ارتباط جميع موضوعات حساب التفاضل

والتكامل، اسمحوا لي أن أتحول إلى شيء من المرح، وهي طريقة مختلفة تمامًا لفهم هذا الحد من الدرجة الثانية من كثيرات حدود تايلور، ولكن هندسيا.

إنها مرتبطة بالنظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل، والتي تحدثت عنها في الفصلين الأول والثامن إذا كنت بحاجة إلى تجديد معلومات سريعًا.

كما فعلنا في مقاطع الفيديو هذه، فكر في دالة تعطي المساحة أسفل الرسم البياني بين نقطة يسرى ثابتة ونقطة يمنى متغيرة.

ما سنفعله هنا هو التفكير في كيفية تقريب دالة المساحة هذه، وليس دالة الرسم البياني نفسه، كما فعلنا من قبل.

التركيز على تلك المنطقة هو ما سيجعل مصطلح الترتيب الثاني يبرز. تذكر أن النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل هي أن هذا الرسم البياني نفسه

يمثل مشتقة دالة المساحة، وذلك لأن دفعة طفيفة dx إلى الحد الأيمن للمنطقة تعطي جزءًا جديدًا من المساحة يساوي تقريبًا ارتفاع الرسم البياني مضروبًا في dx .

هذا التقريب دقيق بشكل متزايد بالنسبة للاختيارات الأصغر والأصغر من dx. لكن إذا أردت أن تكون أكثر دقة بشأن هذا التغيير في المنطقة، مع الأخذ

في الاعتبار بعض التغيير في x الذي ليس من المفترض أن يقترب من 0، فسيتعين عليك أن تأخذ في الاعتبار هذا الجزء هنا، وهو مثلث تقريبًا.

دعونا نسمي مدخلات البداية a، والمدخلات المدفوعة فوقها x، بحيث يكون التغيير هو xa. قاعدة هذا المثلث الصغير هي ذلك التغير xa، وارتفاعه هو ميل الرسم البياني مضروبًا في xa.

نظرًا لأن هذا الرسم البياني هو مشتق دالة المساحة، فإن ميله هو المشتق الثاني لدالة المساحة، ويتم تقييمه عند الإدخال a.

إذن مساحة هذا المثلث، 1 نصف القاعدة في الارتفاع، تساوي 1 نصف في المشتق الثاني لدالة المساحة هذه، مقيمة عند a، مضروبة في xa تربيع.

وهذا هو بالضبط ما ستراه مع كثيرة حدود تايلور. إذا كنت تعرف المعلومات المشتقة المختلفة حول دالة المنطقة

هذه عند النقطة أ، فكيف يمكنك تقريب المساحة عند النقطة x؟ يجب عليك تضمين كل تلك المساحة حتى a، f لـ a، بالإضافة إلى مساحة هذا

المستطيل هنا، وهو المشتقة الأولى، مضروبًا في xa، بالإضافة إلى مساحة هذا المثلث الصغير، وهو 1 نصف في المشتقة الثانية، مضروبًا مربع xa.

يعجبني هذا حقًا، لأنه على الرغم من أنه يبدو فوضويًا بعض الشيء عند كتابته، إلا أن كل مصطلح له معنى واضح جدًا يمكنك فقط الإشارة إليه في الرسم البياني.

إذا أردت، يمكننا أن نسميها نهاية هنا، وسيكون لديك أداة مفيدة للغاية للتقريب مع كثيرات حدود تايلور هذه.

لكن إذا كنت تفكر كعالم رياضيات، فأحد الأسئلة التي قد تطرحها هو ما إذا كان من المنطقي عدم التوقف أبدًا وإضافة عدد لا نهائي من المصطلحات.

في الرياضيات، يسمى المجموع اللانهائي متسلسلة، لذا على الرغم من أن أحد هذه التقديرات التقريبية ذات عدد محدود من الحدود يسمى متعددة حدود

تايلور، فإن جمع كل الحدود اللانهائية يعطي ما يسمى متسلسلة تايلور. عليك أن تكون حذرًا للغاية بشأن فكرة المتسلسلة اللانهائية،

لأنه ليس من المنطقي في الواقع إضافة عدد لا نهائي من الأشياء، يمكنك فقط الضغط على زر علامة الجمع في الآلة الحاسبة عدة مرات.

لكن إذا كان لديك متسلسلة حيث أن إضافة المزيد والمزيد من المصطلحات، وهو أمر منطقي في كل خطوة، يجعلك تقترب بشكل متزايد

من بعض القيمة المحددة، فإنك تقول أن المتسلسلة تتقارب مع تلك القيمة. أو إذا كنت مرتاحًا لتوسيع تعريف المساواة ليشمل هذا النوع من تقارب المتسلسلات، فيمكنك

القول أن المتسلسلة ككل، هذا المجموع اللانهائي، يساوي القيمة التي تتقارب إليها. على سبيل المثال، انظر إلى كثيرة حدود تايلور لـ

e إلى x، وقم بإدخال بعض المدخلات، مثل x يساوي 1. عندما تضيف المزيد والمزيد من الحدود متعددة الحدود، فإن المجموع

الإجمالي يقترب أكثر فأكثر من القيمة e، لذلك تقول أن هذه السلسلة اللانهائية تتقارب مع الرقم e، أو ما يقوله نفس الشيء، أنها تساوي الرقم e.

في الواقع، اتضح أنه إذا قمت بالتعويض بأي قيمة أخرى لـ x، مثل x تساوي 2، ونظرت إلى قيمة متعددات حدود تايلور ذات الترتيب الأعلى

والأعلى عند هذه القيمة، فسوف تتقارب نحو e إلى x، وهو ه تربيع. وينطبق هذا على أي مدخل، بغض النظر عن مدى بعده عن الصفر، على الرغم من أن كثيرات

حدود تايلور هذه مبنية فقط من المعلومات المشتقة التي تم جمعها عند المدخل 0. في مثل هذه الحالة، نقول أن e إلى x يساوي سلسلة تايلور

الخاصة بها عند جميع المدخلات x، وهو شيء سحري قد يحدث. على الرغم من أن هذا ينطبق أيضًا على بعض الوظائف المهمة الأخرى،

مثل جيب التمام وجيب التمام، إلا أن هذه المتسلسلة أحيانًا تتقارب فقط ضمن نطاق معين حول المدخلات التي تستخدم معلوماتها المشتقة.

إذا قمت بحساب متسلسلة تايلور للسجل الطبيعي لـ x حول المدخل x يساوي 1، والذي تم إنشاؤه عن طريق تقييم المشتقات ذات الترتيب

الأعلى للسجل الطبيعي لـ x عند x يساوي 1، فهذا هو ما ستبدو عليه. عندما تقوم بتوصيل إدخال بين 0 و 2، فإن إضافة المزيد والمزيد من

مصطلحات هذه السلسلة سيجعلك أقرب وأقرب إلى السجل الطبيعي لذلك الإدخال. لكن خارج هذا النطاق، ولو قليلاً، تفشل السلسلة في الاقتراب من أي شيء.

ومع إضافة المزيد والمزيد من المصطلحات، يرتد المجموع ذهابًا وإيابًا بشكل كبير. لا يقترب، كما قد تتوقع، من السجل الطبيعي لتلك القيمة، على

الرغم من أن السجل الطبيعي لـ x محدد جيدًا للمدخلات الأعلى من 2. بمعنى ما، فإن المعلومات المشتقة لـ ln x عند x تساوي 1 لا تنتشر إلى هذا الحد.

في مثل هذه الحالة، حيث لا يؤدي إضافة المزيد من حدود السلسلة إلى أي شيء، فإنك تقول أن المتسلسلة تتباعد.

وتلك المسافة القصوى بين المدخلات التي تقريبها بالقرب والنقاط التي تتقارب فيها مخرجات كثيرات الحدود هذه تسمى نصف قطر التقارب لمتسلسلة تايلور.

لا يزال هناك المزيد لنتعلمه عن سلسلة تايلور. هناك العديد من حالات الاستخدام، وتكتيكات لوضع حدود لخطأ هذه التقديرات

التقريبية، واختبارات لفهم متى تتقارب المتسلسلة أو لا تتقارب، وفي هذا الشأن، لا يزال هناك المزيد لنتعلمه عن حساب التفاضل والتكامل ككل والموضوعات

التي لا تعد ولا تحصى التي لم يتم التطرق إليها بواسطة هذه السلسلة. الهدف من مقاطع الفيديو هذه هو إعطائك الحدس الأساسي الذي يجعلك تشعر بالثقة

والكفاءة في تعلم المزيد بمفردك، وربما حتى إعادة اكتشاف المزيد من الموضوع بنفسك. في حالة متسلسلة تايلور، الحدس الأساسي الذي يجب أخذه في الاعتبار

أثناء استكشاف المزيد مما هو موجود، هو أنها تترجم المعلومات المشتقة عند نقطة واحدة إلى معلومات تقريبية حول تلك النقطة.

شكرا مرة أخرى لكل من دعم هذه السلسلة. ستكون السلسلة التالية مثلها على أساس الاحتمالية، وإذا كنت تريد

الوصول المبكر أثناء إنشاء مقاطع الفيديو هذه، فأنت تعرف إلى أين تذهب.